Le réducteur épicycloïdal : quel modèle pour un satellite ?

La stratégie. La cinématique d'abord, par deux conditions de roulement sans glissement, la couronne étant fixe ; puis, pour chaque satellite, le point $O_s$ (son centre d'inertie, mobile) et le transport en $O$, avec la rotation absolue. On additionne enfin en $O$, point commun à tous.

1) Cinématique. Le centre $O_s$ décrit un cercle de rayon $a=25\mathrm{mm}$ à ${\omega }_{ps/0}$ : $V(O_s)=a{\omega }_{ps/0}$. Sur la droite $O{O}_s$, un point du satellite à la distance $\rho$ de $O$ a la vitesse orthoradiale $a{\omega }_{ps/0}+{\omega }_{s/0}(\rho -a)$. En $J$ ($\rho =a+r_s$), la couronne est fixe : $a{\omega }_{ps/0}+r_s{\omega }_{s/0}=0$, donc ${\omega }_{s/0}=-\frac{a}{r_s}{\omega }_{ps/0}$. En $I$ ($\rho =r_p=a-r_s$), la vitesse du satellite égale celle du planétaire : $a{\omega }_{ps/0}-r_s{\omega }_{s/0}=2a{\omega }_{ps/0}=r_p{\omega }_{p/0}$. D'où, avec $2a=r_p+r_c$ : $${\omega }_{ps/0}=\frac{r_p}{r_p+r_c}{\omega }_{p/0}=\frac{{\omega }_{p/0}}{5},{\omega }_{s/ps}={\omega }_{s/0}-{\omega }_{ps/0}=-\frac{r_c}{r_s}{\omega }_{ps/0}.$$ Avec ${\omega }_{p/0}=314,2\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : ${\omega }_{ps/0}=62,8$ ; ${\omega }_{s/0}=-104,7$ ; ${\omega }_{s/ps}=-167,6\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Les vitesses sont affines le long du rayon : le satellite pivote, à cet instant, autour de $J$.

2) Le satellite : son centre, puis le transport. $O$ est fixe, mais n'est pas lié au satellite : $\overrightarrow{V}(O\in s/0)=\overrightarrow{V}(O_s)+\overrightarrow{\Omega }(s/0)\wedge \overrightarrow{O_{s}O}$ n'est ni nul ni colinéaire à $\overrightarrow{O{O}_s}$ (sa norme vaut $a|{\omega }_{ps/0}-{\omega }_{s/0}|$ et il est orthoradial). On réduit en $O_s$, centre d'inertie, et l'on transporte : $${\sigma }_z(O,s/0)=\frac{1}{2}{m}_s{r}_s^2{\omega }_{s/0}+m_s{a}^2{\omega }_{ps/0}=m_{s}a{\omega }_{ps/0}(a-\frac{r_s}{2}),$$ en remplaçant ${\omega }_{s/0}$ par $-a{\omega }_{ps/0}/r_s$. Masse d'un satellite : $m_s=\pi r_s^2\times 0,020\times 7850=0,111\mathrm{kg}$. D'où ${\sigma }_z(O,s/0)=0,111\times 0,025\times 62,8\times 0,0175=3,05\times 10^{-3}\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{s}$. Les deux termes sont de signes opposés : le satellite tourne sur lui-même en sens inverse de son mouvement autour de l'axe.

3) Les modèles simplifiés. Masse ponctuelle : $m_s{a}^2{\omega }_{ps/0}=4,36\times 10^{-3}$, soit $+42,9\%$ (l'écart relatif vaut exactement $\frac{r_s}{2a-r_s}$). Rotation relative : $\frac{1}{2}{m}_s{r}_s^2{\omega }_{s/ps}+m_s{a}^2{\omega }_{ps/0}=2,27\times 10^{-3}$, soit $-25,7\%$. Seul le modèle complet satisfait l'exigence de $5\%$ : la rotation propre du satellite n'est pas négligeable devant son mouvement d'ensemble, et c'est sa rotation absolue, ${\omega }_{s/0}={\omega }_{s/ps}+{\omega }_{ps/0}$, qui compte.

4) L'ensemble est un couple. Résultante : le planétaire, le porte-satellites et la couronne ont leur centre d'inertie sur l'axe ; les trois satellites ont des quantités de mouvement $m_{s}a{\omega }_{ps/0}{\overrightarrow{u}}_k$ de même norme, orthoradiales à $120^{\circ }$ les unes des autres, dont la somme est nulle. $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$ : le torseur cinétique est un couple, son moment est le même en tout point, et il n'y a plus de point de réduction à choisir. Sa composante axiale : planétaire $\frac{1}{2}{m}_p{r}_p^2{\omega }_{p/0}=7,7\times 10^{-4}$ (avec $m_p=0,049\mathrm{kg}$) ; trois satellites $9,15\times 10^{-3}$ ; porte-satellites $J_{ps}{\omega }_{ps/0}=1,26\times 10^{-2}$ ; total $2,25\times 10^{-2}\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{s}$, dont $56\%$ pour le porte-satellites, $41\%$ pour les satellites et $3\%$ seulement pour le planétaire, pourtant le plus rapide. Avec un seul satellite, $\overrightarrow{P}=m_{s}a{\omega }_{ps/0}\overrightarrow{u}$, de norme $0,17\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, tourne avec le porte-satellites : c'est un balourd, qui chargerait les paliers d'un effort tournant. La répartition à $120^{\circ }$ n'est pas qu'un partage de la charge.

5) Pas une inertie équivalente. ${\sigma }_z/{\omega }_{p/0}=2,25\times 10^{-2}/314=7,2\times 10^{-5}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$. Ce rapport n'est pas l'inertie « vue de l'entrée » : celle-ci se définit par l'énergie cinétique, où chaque terme est pondéré par le carré du rapport des vitesses, et l'on trouverait $2,3\times 10^{-5}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, trois fois moins. Le moment cinétique pondère par le rapport des vitesses, l'énergie par son carré.

Ce que l'exercice installe. Toute la cinématique d'un train épicycloïdal sort de la composition des mouvements et du roulement sans glissement aux deux contacts, sans formule propre aux trains. Pour un satellite : centre d'inertie, rotation absolue, transport au point commun. Et une lecture du torseur : trois satellites à $120^{\circ }$ font un couple.