Pendule pesant plan

$\overrightarrow{\Omega }(S/R)=\dot{\theta }\overrightarrow{z}$. Le point $O$ est fixe et lié à la tige : $\overrightarrow{\sigma }(O)=[I(O,S)]\dot{\theta }\overrightarrow{z}=\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}$ ($\overrightarrow{z}$ est principal pour une tige perpendiculaire). Le point $A$ n'est pas fixe : on transporte, avec $\overrightarrow{V}(G/R)=\frac{L}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ :

$$\overrightarrow{\sigma }(A)=\overrightarrow{\sigma }(O)+\overrightarrow{AO}\wedge m\overrightarrow{V}(G/R)=\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}+(-L{\overrightarrow{u}}_r)\wedge \frac{mL}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }=-\frac{1}{6}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}.$$

Contrôle par la formule en un point quelconque : $\overrightarrow{V}(A\in S/R)=L\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et $\overrightarrow{AG}=-\frac{L}{2}{\overrightarrow{u}}_r$, donc $[I(A)]\overrightarrow{\Omega }+m\overrightarrow{AG}\wedge \overrightarrow{V}(A\in S/R)=\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}$ : le même résultat ; écrire $[I(A)]\overrightarrow{\Omega }$ seul aurait donné $+\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\overrightarrow{z}$, de signe faux. En un point $P$ de la tige, à la distance $s$ de $O$, $\overrightarrow{\sigma }(P)=(\frac{1}{3}{L}^2-\frac{1}{2}sL)m\dot{\theta }\overrightarrow{z}$ : il s'annule pour $s=\frac{2}{3}L$.