Pourquoi un hélicoptère a-t-il un rotor de queue ?

La stratégie. Isoler l'ensemble rotor et fuselage, pour que le couple du moteur, action mutuelle, disparaisse du bilan ; écrire la rotation absolue du rotor par composition ; puis appliquer la loi du moment cinétique admise autour de l'axe fixe, où ne comptent que les actions de l'air.

1) Rotation absolue. $\overrightarrow{\Omega }(r/0)=\overrightarrow{\Omega }(r/f)+\overrightarrow{\Omega }(f/0)=({\omega }_{\mathrm{rel}}+{\omega }_f){\overrightarrow{z}}_0$. Les deux solides ont leur centre d'inertie sur l'axe, fixe : en $O$, ${\sigma }_z(O,r/0)=J_r({\omega }_{\mathrm{rel}}+{\omega }_f)$ et ${\sigma }_z(O,f/0)=J_f{\omega }_f$, que l'on additionne au même point : $${\sigma }_z(O,E/0)=J_r({\omega }_{\mathrm{rel}}+{\omega }_f)+J_f{\omega }_f.$$

2) Le fuselage part en sens inverse. Sans air, les actions extérieures à $E$ (poids, pivot parfait) n'ont pas de moment par rapport à l'axe : ${\sigma }_z$ se conserve, et il était nul au repos. Donc $${\omega }_f=-\frac{J_r}{J_r+J_f}{\omega }_{\mathrm{rel}}=-\frac{1000}{6000}\times 40=-6,67\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit $-64\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ : le fuselage tourne en sens inverse du rotor. La faute « ${\omega }_{\mathrm{rel}}$ est absolue » donnerait $J_r{\omega }_{\mathrm{rel}}+J_f{\omega }_f=0$, soit $-8,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $20\%$ de trop. Le rotor ne tourne en réalité qu'à $40-6,67=33,3\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ par rapport au sol.

3) Le rotor de queue équilibre le couple de l'air. La puissance prélevée par le rotor est dissipée dans l'air : $C_a=P/{\omega }_{\mathrm{rel}}=350\times 10^3/40=8750\mathrm{N}\mathrm{m}$ (fuselage immobile, rotation relative et absolue confondues). Actions extérieures à $E$ et leurs moments par rapport à l'axe : poids (nul), couple de l'air sur le rotor ($-C_a$, opposé à la rotation), poussée du rotor de queue ($+F\ell$). Le couple du moteur, exercé par le fuselage sur le rotor, et sa réaction sont intérieurs à $E$ : ils ne figurent pas dans le bilan. En stationnaire ${\sigma }_z$ est constant, d'où $F\ell =C_a$ et $$F=\frac{C_a}{\ell }=\frac{8750}{6}=1,46\mathrm{kN},$$ de l'ordre de $7\%$ du poids d'un appareil de deux tonnes.

4) La panne. Avec $F=0$ et ${\omega }_{\mathrm{rel}}$ constant : $\frac{\mathrm{d}{\sigma }_z}{\mathrm{d}t}=(J_r+J_f)\frac{\mathrm{d}{\omega }_f}{\mathrm{d}t}=-C_a$, d'où $$\frac{\mathrm{d}{\omega }_f}{\mathrm{d}t}=-\frac{C_a}{J_r+J_f}=-\frac{8750}{6000}=-1,46\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}=-84^{\circ }{\mathrm{s}}^{-2}.$$ Au bout d'une seconde, le fuselage tourne à $84^{\circ }{\mathrm{s}}^{-1}$ : non conforme (près de trois fois la limite ; les $30^{\circ }{\mathrm{s}}^{-1}$ sont atteints en $0,36\mathrm{s}$). Oublier l'inertie du rotor, entraîné avec le fuselage puisque ${\omega }_{\mathrm{rel}}$ est régulé, donnerait $100^{\circ }{\mathrm{s}}^{-2}$. Pour respecter l'exigence, il faut $C_a\le \frac{30\pi }{180}\times 6000=3140\mathrm{N}\mathrm{m}$, soit une puissance réduite à $36\%$ ($126\mathrm{kW}$) : c'est la procédure, réduire immédiatement la puissance, voire passer en autorotation.

5) Cas limites. Deux rotors coaxiaux identiques contrarotatifs : ${\sigma }_z=J_f{\omega }_f+J_r(\omega +{\omega }_f)+J_r(-\omega +{\omega }_f)=(J_f+2J_r){\omega }_f$ ; le lancement ne fait pas tourner le fuselage, et les couples de l'air sur les deux rotors s'opposent : pas de rotor de queue. Drone quadrirotor : deux hélices tournent dans un sens, deux dans l'autre, et à vitesses égales leurs moments cinétiques s'annulent. Accélérer de $\Delta \omega$ les deux premières et ralentir de $\Delta \omega$ les deux autres augmente de $4J_h\Delta \omega$ le moment cinétique des hélices ; la conservation de ${\sigma }_z$ fait tourner le corps de $$\Delta {\omega }_d=-\frac{4J_h\Delta \omega }{J_d}=-\frac{4\times 3\times 10^{-5}\times 50}{0,02}=-0,30\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ par réaction seule ; en régime établi, c'est le déséquilibre des couples de traînée des hélices qui entretient le lacet, ce que cette cinétique ne décrit pas.

Ce que l'exercice installe. Pour un ensemble de solides, la rotation absolue de chacun (${\omega }_{\mathrm{rel}}+{\omega }_f$), et l'isolement qui fait disparaître les actions intérieures (le couple du moteur). La conservation du moment cinétique, admise, explique la réaction du fuselage ; le bilan autour de l'axe chiffre la poussée de l'anti-couple et la gravité d'une panne.