Problème — Volant d'inertie embarqué

1. Hauteur : $h=\frac{M}{\rho \pi R^2}=\frac{50}{1600\times \pi \times 0,04}=0,25\mathrm{m}$. Moment d'inertie : $C=\frac{1}{2}M{R}^2=\frac{1}{2}\times 50\times 0,04=1,0\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ ; $\omega =30000\times \frac{2\pi }{60}=3142\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Le centre d'inertie est sur l'axe, qui est de révolution : $\overrightarrow{\sigma }(G)=C\omega \overrightarrow{x}$, de norme $\sigma =3142\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}$ ($\overrightarrow{x}$ axe du volant).

2. $\overrightarrow{\Gamma }=\dot{\psi }{\overrightarrow{z}}_0\wedge \sigma \overrightarrow{x}=\dot{\psi }\sigma \overrightarrow{y}$ (base directe, $\overrightarrow{x}$ horizontal, ${\overrightarrow{z}}_0$ vertical) : $\Gamma =0,5\times 3142=1571\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, horizontal et perpendiculaire à l'axe du volant. Les paliers le fournissent par deux forces verticales opposées, distantes de $L$ : $F=\Gamma /L=1571/0,60=2618\mathrm{N}$ par palier, plus de dix fois la part du poids reprise par chacun ($Mg/2=245\mathrm{N}$) ; l'un est chargé vers le haut, l'autre vers le bas.

3. $v=R\omega =0,20\times 3142=628\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ; $E=\frac{1}{2}C{\omega }^2=\frac{1}{2}\times 1,0\times 3142^2=4,9\mathrm{MJ}$ ($1,4\mathrm{kWh}$). À $60000\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, la périphérie irait à $1257\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ : la contrainte centrifuge, proportionnelle à $\rho v^2$, quadruplerait et dépasserait ce que tient un composite ; la vitesse périphérique est la vraie limite d'un volant.

4. Un axe vertical, parallèle à l'axe de lacet : ${\overrightarrow{z}}_0\wedge \overrightarrow{\sigma }=\overrightarrow{0}$, plus de couple en virage. Il resterait les couples dus au tangage et au roulis du véhicule (rotations autour d'axes horizontaux), plus faibles en général ; c'est pourquoi les volants embarqués ont souvent l'axe vertical, montés sur cardan.