Solide quelconque en rotation autour d'un axe fixe

Cinétique des Solides et des Systèmes · niveau 1 (application)

Énoncé

Un solide $(S)$ de masse $m$ tourne autour de l'axe $(O, z)$ , fixe dans le repère $R$ , d'un angle $θ (t)$ . Dans une base $(x, y, z)$ liée à $(S)$ , son centre d'inertie a pour coordonnées $(x_{G}, y_{G}, z_{G})$ et sa matrice d'inertie en $O$ s'écrit $[I (O, S)] = A - F - E - F B - D - E - D C$ .

Exprimer le torseur cinétique ${C (S / R)}$ en $O$ .
À quelles conditions la résultante est-elle nulle ? le moment colinéaire à l'axe ?
Cas particulier : disque homogène de masse $m$ et de rayon $R$ , d'axe $(O, z)$ .

Corrigé

1. $Ω (S / R) = θ ˙ z$ , et $O$ est fixe et lié à $(S)$ (il est sur l'axe de rotation). Résultante : $P = m V (G / R) = m θ ˙ z \land (x_{G} x + y_{G} y + z_{G} z) = m θ ˙ (x_{G} y - y_{G} x)$ . Moment : $σ (O) = [I (O, S)] θ ˙ z$ , troisième colonne de la matrice multipliée par $θ ˙$ :

${C (S / R)}_{O} = {m θ ˙ (x_{G} y - y_{G} x) θ ˙ (- E x - D y + C z)}_{O} .$

2. $P = 0$ si et seulement si $x_{G} = y_{G} = 0$ : $G$ est sur l'axe (le solide est équilibré statiquement). $σ (O)$ est colinéaire à $z$ si et seulement si $D = E = 0$ : l'axe de rotation est axe principal d'inertie en $O$ . Les deux à la fois : le torseur cinétique est un couple, porté par l'axe ; on verra en dynamique que les paliers ne subissent alors aucun effort tournant (solide équilibré dynamiquement).

3. Pour le disque, $G = O$ et l'axe est axe de révolution, donc principal : $P = 0$ , $D = E = 0$ , $C = \frac{1}{2} m R^{2}$ , et ${C (S / R)}_{O} = {0 \frac{1}{2} m R^{2} θ ˙ z}_{O}$ : un couple, le même en tout point.