Système bielle-manivelle

1. $B$ est sur $(O,\overrightarrow{x})$ : $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{y}=r\sin \theta -L\sin \beta =0$, soit $r\sin \theta =L\sin \beta$, et en dérivant $\dot{\beta }=\frac{r\cos \theta }{L\cos \beta }\dot{\theta }$. La direction de la bielle fait l'angle $-\beta$ avec $\overrightarrow{x}$ : $\overrightarrow{\Omega }(2/R)=-\dot{\beta }\overrightarrow{z}$.

2. Manivelle : $O$ est fixe et lié à $1$, ${\sigma }_z(O,1/R)=\frac{1}{3}{m}_1{r}^2\dot{\theta }$. Bielle : aucun de ses points n'est fixe ; on réduit en $G_2$ et l'on transporte, ${\sigma }_z(O,2/R)=-\frac{1}{12}{m}_2{L}^2\dot{\beta }+m_2(\overrightarrow{O{G}_2}\wedge \overrightarrow{V}(G_2/R))\cdot \overrightarrow{z}$. On écrit $\overrightarrow{O{G}_2}=r{\overrightarrow{e}}_r+\frac{L}{2}\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{V}(G_2/R)=\overrightarrow{V}(A/R)+\overrightarrow{\Omega }(2/R)\wedge \overrightarrow{A{G}_2}=r\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }-\frac{L}{2}\dot{\beta }\overrightarrow{v}$, où ${\overrightarrow{e}}_r=\cos \theta \overrightarrow{x}+\sin \theta \overrightarrow{y}$, ${\overrightarrow{e}}_{\theta }=\overrightarrow{z}\wedge {\overrightarrow{e}}_r$, $\overrightarrow{u}=\cos \beta \overrightarrow{x}-\sin \beta \overrightarrow{y}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{z}\wedge \overrightarrow{u}$. Les produits utiles sont ${\overrightarrow{e}}_r\wedge {\overrightarrow{e}}_{\theta }=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{z}$ et $({\overrightarrow{e}}_r\wedge \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{z}=(\overrightarrow{u}\wedge {\overrightarrow{e}}_{\theta })\cdot \overrightarrow{z}=\cos (\theta +\beta )$, d'où

$$(\overrightarrow{O{G}_2}\wedge \overrightarrow{V}(G_2/R))\cdot \overrightarrow{z}=r^2\dot{\theta }+\frac{rL}{2}\cos (\theta +\beta )(\dot{\theta }-\dot{\beta })-\frac{L^2}{4}\dot{\beta }.$$

En additionnant au même point $O$ :

$${\sigma }_z(O,\{1+2\}/R)=(\frac{m_1}{3}+m_2)r^2\dot{\theta }+\frac{m_{2}rL}{2}\cos (\theta +\beta )(\dot{\theta }-\dot{\beta })-\frac{m_2{L}^2}{3}\dot{\beta },\dot{\beta }=\frac{r\cos \theta }{L\cos \beta }\dot{\theta }.$$

3. En $\theta =0$ : $\beta =0$ et $\dot{\beta }=\frac{r}{L}\dot{\theta }$, d'où ${\sigma }_z(O)=(\frac{m_1}{3}+\frac{m_2}{2})r^2\dot{\theta }+\frac{m_{2}rL}{6}\dot{\theta }$. Contrôle direct : au point mort, $\overrightarrow{V}(B)=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{V}(A)=r\dot{\theta }\overrightarrow{y}$, donc $\overrightarrow{V}(G_2)=\frac{r}{2}\dot{\theta }\overrightarrow{y}$ avec $\overrightarrow{O{G}_2}=(r+\frac{L}{2})\overrightarrow{x}$ ; ${\sigma }_z(O,2)=-\frac{1}{12}{m}_2{L}^2\cdot \frac{r}{L}\dot{\theta }+m_2(r+\frac{L}{2})\frac{r}{2}\dot{\theta }=\frac{m_2}{2}{r}^2\dot{\theta }+\frac{m_{2}rL}{6}\dot{\theta }$. Les deux calculs concordent.