Tige en rotation conique — exercice corrigé de sciences industrielles (PSI) (chapitre 2)

Tige en rotation conique

Cinétique des Solides et des Systèmes · niveau 1 (application)

Énoncé

Une tige mince homogène $O B$ , de masse $m$ et de longueur $L$ , articulée en $O$ fixe, fait un angle constant $α$ avec l'axe vertical $(O, z)$ et tourne autour de cet axe à la vitesse constante $ω$ . On note $z_{1}$ le vecteur unitaire de $O B$ , $x_{1}$ le vecteur unitaire perpendiculaire à $z_{1}$ dans le plan vertical qui contient la tige, orienté de sorte que $z = cos α z_{1} - sin α x_{1}$ , et $y_{1} = z_{1} \land x_{1}$ . Calculer $σ (O, tige / R)$ . Est-il colinéaire à $Ω$ ?

Corrigé

$O$ est fixe et lié à la tige ; dans la base $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , liée à la tige, $[I (O)] = diag (\frac{1}{3} m L^{2}, \frac{1}{3} m L^{2}, 0)$ (moment d'inertie nul autour de l'axe d'une tige mince). Avec $Ω = ω z = ω (- sin α x_{1} + cos α z_{1})$ :

$σ (O, tige / R) = - \frac{1}{3} m L^{2} ω sin α x_{1} .$

$σ (O)$ est perpendiculaire à la tige et fait avec $Ω$ l'angle $\frac{π}{2} - α$ : il n'est colinéaire à $Ω$ que pour $α = \frac{π}{2}$ (tige horizontale, $z$ est alors principal) ; pour $α = 0$ , il est nul. Comme $x_{1}$ tourne avec la tige, $σ (O)$ tourne autour de l'axe : sa dérivée $ω z \land σ (O)$ , de norme $\frac{1}{3} m L^{2} ω^{2} sin α cos α$ , n'est pas nulle, et l'on verra en dynamique qu'un moment doit l'entretenir alors même que $ω$ est constant.