Toupie symétrique à point fixe — exercice corrigé de sciences industrielles (PSI) (chapitre 2)

Toupie symétrique à point fixe

Cinétique des Solides et des Systèmes · niveau 2

Énoncé

Une toupie de révolution d'axe $(O, z_{1})$ a sa pointe $O$ fixe dans $R_{0}$ . Ses moments d'inertie en $O$ sont $A$ (par rapport à tout axe perpendiculaire à $z_{1}$ passant par $O$ ) et $C$ (par rapport à $z_{1}$ ). Son orientation est repérée par les angles d'Euler : précession $ψ$ autour de $z_{0}$ , de $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ à $(u, v, z_{0})$ ; nutation $θ$ autour de $u$ , de $(u, v, z_{0})$ à $(u, w, z_{1})$ ; rotation propre $φ$ autour de $z_{1}$ . Exprimer $σ (O, S / R_{0})$ , puis sa forme approchée quand la rotation propre est grande devant la précession et la nutation.

Corrigé

Composition des rotations : $Ω (S / R_{0}) = ψ ˙ z_{0} + θ ˙ u + φ ˙ z_{1}$ . D'après la seconde figure, $z_{0} = sin θ w + cos θ z_{1}$ , d'où, dans la base $(u, w, z_{1})$ : $Ω (S / R_{0}) = θ ˙ u + ψ ˙ sin θ w + (φ ˙ + ψ ˙ cos θ) z_{1}$ .

Le point $O$ est fixe et lié à la toupie : $σ (O) = [I (O, S)] Ω (S / R_{0})$ . La base $(u, w, z_{1})$ — base de Résal — n'est pas liée à la toupie (elle ne suit pas la rotation propre) ; mais la toupie étant de révolution autour de $z_{1}$ , sa matrice en $O$ est $diag (A, A, C)$ dans toute base orthonormée contenant $z_{1}$ , donc aussi dans celle-ci, où elle est de plus constante. D'où

$σ (O, S / R_{0}) = A θ ˙ u + A ψ ˙ sin θ w + C (φ ˙ + ψ ˙ cos θ) z_{1} .$

Si $∣ φ ˙ ∣ ≫ ∣ ψ ˙ ∣, ∣ θ ˙ ∣$ (et $A$ , $C$ du même ordre), $σ (O) \approx C φ ˙ z_{1}$ : c'est l'approximation gyroscopique, le moment cinétique porté par l'axe de la toupie.