Chariot élévateur : jusqu'où peut-on freiner avec la charge levée ?

La stratégie. Le mouvement est imposé (décélération $\gamma$), l'inconnue clé est $N_{\text{ar}}$ : le basculement commence quand elle s'annule. On cherche l'équation qui la donne seule : le moment en $A$, point où sont appliquées les deux autres inconnues ($N_{\text{av}}$ et $T$), et où la troisième action de contact, en $B$, n'a qu'un bras de levier horizontal.

1) La statique. À l'arrêt, le moment en $A$ des actions extérieures est nul ; au basculement, $N_{\text{ar}}=0$ et les deux poids s'équilibrent autour de $A$ : $m_{c,\max }gd=Mgb$, soit $$m_{c,\max }=\frac{Mb}{d}=\frac{2700\times 0,84}{0,90}=2520\mathrm{kg},$$ une marge de $2520/1500=1,68$ sur la charge nominale, à l'arrêt.

2) En translation, le moment dynamique n'est nul qu'en $G$. Chaque solide est en translation rectiligne d'accélération $-\gamma {\overrightarrow{x}}_0$ : $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$, donc $\overrightarrow{\sigma }(G)=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{\delta }(G)=\overrightarrow{0}$ ; de même en $G_c$. Mais en $A$, le transport donne $\overrightarrow{\delta }(A)=\overrightarrow{AG}\wedge M\overrightarrow{\Gamma }(G)+\overrightarrow{A{G}_c}\wedge m_c\overrightarrow{\Gamma }(G_c)$. Avec $\overrightarrow{AG}=-b{\overrightarrow{x}}_0+h{\overrightarrow{y}}_0$ et $\overrightarrow{A{G}_c}=d{\overrightarrow{x}}_0+h_c{\overrightarrow{y}}_0$ : $$\overrightarrow{\delta }(A)\cdot {\overrightarrow{z}}_0=M\gamma h+m_c\gamma h_c\ne 0.$$ Moments en $A$ des actions extérieures, sur ${\overrightarrow{z}}_0$ : poids du chariot $+Mgb$, poids de la charge $-m_{c}gd$, action en $B$ ($\overrightarrow{AB}=-L{\overrightarrow{x}}_0$) $-L{N}_{\text{ar}}$ ; $N_{\text{av}}$ et $T$, appliquées en $A$, n'ont pas de moment. D'où $$L{N}_{\text{ar}}=M\left(gb-\gamma h\right)-m_c\left(gd+\gamma h_c\right).$$ Le point $A$ est choisi parce que deux des trois inconnues de contact y passent : l'équation n'en contient plus qu'une. Le basculement survient pour $N_{\text{ar}}=0$ : $${\gamma }_b=\frac{g(Mb-m_{c}d)}{Mh+m_c{h}_c}=\frac{9006}{1890+1500h_c}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ soit ${\gamma }_b=3,62\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ charge basse et ${\gamma }_b=1,32\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ charge levée : lever la charge divise par près de trois la décélération admissible.

3) Le cahier des charges. S'arrêter depuis $v_0=10km/h=2,78\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en $2\mathrm{m}$ demande $\gamma =\frac{v_0^2}{2\times 2}=1,93\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Charge basse : $N_{\text{ar}}=\frac{9006-1,93\times 2490}{1,40}=3,0\mathrm{kN}>0$, conforme (contre $6,4\mathrm{kN}$ à l'arrêt). Charge levée : $N_{\text{ar}}=\frac{9006-1,93\times 6840}{1,40}=-3,0\mathrm{kN}$ : une réaction négative est impossible, le chariot bascule : non conforme. Deux remèdes. La charge admissible mât levé, tirée de $N_{\text{ar}}=0$ à $\gamma =1,93$, vaut $m_c=\frac{M(gb-\gamma h)}{gd+\gamma h_c}=1224\mathrm{kg}$. Ou bien, à charge nominale, on limite la vitesse : $v_0=\sqrt{2{\gamma }_b\times 2}=2,30\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=8,3km/h$. C'est ce que font les constructeurs : vitesse bridée dès que le mât dépasse une hauteur donnée.

La courbe coupe l'exigence à $h_c=1,85\mathrm{m}$ : au-delà, le chariot chargé ne tient pas l'arrêt en $2\mathrm{m}$.

4) Il bascule avant de glisser. Seules les roues avant freinent : $T=(M+m_c)\gamma$ et $N_{\text{av}}=(M+m_c)g-N_{\text{ar}}$. Charge basse, à $\gamma =1,93$ : $T=8,10\mathrm{kN}$, $N_{\text{av}}=38,2\mathrm{kN}$, l'adhérence demandée $T/N_{\text{av}}=0,21$ est loin de $f=0,6$. Au seuil de basculement, $N_{\text{ar}}=0$ et $N_{\text{av}}=(M+m_c)g$, donc l'adhérence demandée vaut ${\gamma }_b/g$ : $0,37$ charge basse, $0,13$ charge levée, toujours inférieure à $0,6$. Les lois de Coulomb sont satisfaites jusqu'au basculement : c'est le basculement, pas l'adhérence, qui limite le freinage d'un chariot élévateur, à l'inverse d'une voiture.

5) Cas limites. Pour $\gamma \to 0$, on retrouve l'équation de la statique, $L{N}_{\text{ar}}=Mgb-m_{c}gd$. La hauteur n'intervient que multipliée par $\gamma$ : à l'arrêt, lever la charge ne change rien ; en freinage, chaque mètre de levée retire $m_c\gamma /L$ à la réaction arrière. Homogénéité : ${\gamma }_b$ est un rapport de moments ($\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$) à des $\mathrm{kg}\mathrm{m}$, c'est bien une accélération.

Ce que l'exercice installe. En translation, $\overrightarrow{\delta }(G)=\overrightarrow{0}$ mais $\overrightarrow{\delta }(A)=\overrightarrow{AG}\wedge m\overrightarrow{\Gamma }(G)$ n'est pas nul : c'est lui qui transfère la charge vers l'avant. Choisir le point de réduction là où passent les inconnues non désirées donne l'inconnue cherchée en une ligne, et la conclusion se fait sur le cahier des charges : basculement, adhérence, remèdes chiffrés.