Disque entraîné par un couple moteur et un frottement visqueux

On isole le disque ; la pesanteur et l'action du pivot n'ont pas de moment sur l'axe en $O$. Le théorème du moment dynamique sur l'axe fixe, avec $J=\frac{1}{2}m{R}^2=0,1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (donné par la géométrie des masses), donne

$$J\dot{\omega }=C_m-f\omega ⟺\tau \dot{\omega }+\omega =\frac{C_m}{f},\tau =\frac{J}{f}.$$

C'est un système du premier ordre soumis à un échelon ; sa réponse, partant du repos, est connue :

$$\omega (t)=\frac{C_m}{f}\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right).$$

Vitesse limite $C_m/f=40\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($382tr/min$), constante de temps $\tau =2\mathrm{s}$ ; $95\%$ de la vitesse limite au bout de $3\tau =6\mathrm{s}$. La vitesse limite ne dépend que du couple et du frottement, la durée du transitoire que de l'inertie et du frottement.