Échelle glissant sur deux parois lisses, par le PFD

Une échelle $A B$ (tige homogène de masse $m$ , longueur $L$ , $J_{G} = m L^{2} /12$ ) s'appuie sans frottement contre un mur vertical en $A$ et sur un sol horizontal en $B$ . $R_{0} = (O, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , galiléen, $O$ au pied du mur, $y_{0}$ vertical ascendant ; $θ$ est l'angle de l'échelle avec l'horizontale. Elle est lâchée sans vitesse à $θ_{0}$ .

Établir l'équation du mouvement par le principe fondamental de la dynamique, et exprimer les actions $N_{A} x_{0}$ et $N_{B} y_{0}$ des parois.
On note $I$ le point d'intersection des normales aux contacts. Peut-on écrire $δ (I) = \frac{d σ ( I )}{d t}$ ?
À quel angle l'échelle quitte-t-elle le mur ? Application : $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ .

1. On isole l'échelle ; $O G = \frac{L}{2} (cos θ x_{0} + sin θ y_{0})$ , $Ω = - θ ˙ z_{0}$ . Théorème de la résultante dynamique :

$N_{A} = m x ¨_{G} = - m \frac{L}{2} (θ ¨ sin θ + θ ˙^{2} cos θ), N_{B} - m g = m y ¨_{G} = m \frac{L}{2} (θ ¨ cos θ - θ ˙^{2} sin θ) .$

Théorème du moment dynamique en $G$ sur $z_{0}$ , avec $δ (G) = - J_{G} θ ¨ z_{0}$ , $G A = \frac{L}{2} (- cos θ, sin θ)$ et $GB = \frac{L}{2} (cos θ, - sin θ)$ :

$- J_{G} θ ¨ = - \frac{L}{2} sin θ N_{A} + \frac{L}{2} cos θ N_{B} .$

En y reportant $N_{A}$ et $N_{B}$ , les termes en $θ ˙^{2}$ se compensent et il reste $- J_{G} θ ¨ = m \frac{L ^{2}}{4} θ ¨ + m g \frac{L}{2} cos θ$ , soit

$\frac{1}{3} m L^{2} θ ¨ = - m g \frac{L}{2} cos θ$

Les actions des parois s'en déduisent par les deux équations de la résultante.

2. $I$ a pour coordonnées $(L cos θ, L sin θ)$ : c'est un point géométrique mobile, ni $G$ ni un point fixe. En général, $δ (I) = \frac{d σ ( I )}{d t} + V (I) \land m V (G)$ . Ici, $V (I) = L θ ˙ (- sin θ, cos θ)$ et $V (G) = \frac{L}{2} θ ˙ (- sin θ, cos θ)$ sont colinéaires : le terme correctif est nul, et, $I G = L /2$ restant constant, $σ (I) = - (J_{G} + m \frac{L ^{2}}{4}) θ ˙ z_{0}$ . Le moment en $I$ des actions $N_{A}$ , $N_{B}$ étant nul, on retrouve l'équation du mouvement en une ligne. C'est une coïncidence géométrique propre à ce problème (le milieu de l'échelle et le point $I$ sont alignés avec le coin $O$ ), pas une règle : en un point mobile quelconque, le terme correctif ne s'annule pas.

3. En multipliant l'équation du mouvement par $θ ˙$ et en intégrant (c'est le théorème de l'énergie cinétique), $θ ˙^{2} = \frac{3 g}{L} (sin θ_{0} - sin θ)$ . Avec $θ ¨ = - \frac{3 g}{2 L} cos θ$ :

$N_{A} = \frac{3}{4} m g cos θ (3 sin θ - 2 sin θ_{0}) .$

$N_{A}$ s'annule, et l'échelle quitte le mur, pour $sin θ = \frac{2}{3} sin θ_{0}$ ; pour $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ , $θ = 35, 3^{\circ}$ . Au-delà, le modèle « deux contacts » n'est plus valide.

Énoncé

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