Ventilateur en porte-à-faux : quel modèle pour ses deux roulements ?

1. Graphe de structure. Deux classes d'équivalence : le carter (bâti) $0$ et le rotor $1$, reliés par les deux roulements ; actions extérieures au rotor : pesanteur, air, moteur.

Le rotor n'a qu'un mouvement possible par rapport au carter, la rotation autour de l'axe : $m=1$ (mobilité utile, aucune mobilité interne). Le mécanisme compte $p=2$ solides : le principe fondamental appliqué au rotor fournit $6(p-1)=6$ équations scalaires, dont $m=1$, la projection du moment sur l'axe, est l'équation du mouvement : à vitesse constante, $C_m=C_r$ (au terme $Mge\simeq 3\times 10^{-3}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ près, négligeable).

2. Deux rotules. $N_s=3+3=6$, donc $h=N_s-6(p-1)+m=6-6+1=1$. La résultante sur ${\overrightarrow{x}}_0$ donne $X_A+X_B-F_a=M\overrightarrow{\Gamma }(G)\cdot {\overrightarrow{x}}_0=0$ : la somme des efforts axiaux vaut $F_a$, et c'est tout. Aucune autre équation ne contient $X_A$ ou $X_B$ (leurs moments en $A$ sont nuls, $B$ étant sur l'axe) : le partage de la poussée entre les deux roulements est indéterminé, quel que soit le point ou l'axe choisi.

3. Rotule en $A$, linéaire annulaire en $B$. $N_s=3+2=5$ ($X_A$, $Y_A$, $Z_A$ ; $Y_B$, $Z_B$, la linéaire annulaire d'axe ${\overrightarrow{x}}_0$ ne transmettant aucun effort axial), donc $h=5-6+1=0$ : le modèle est isostatique, et les cinq équations restantes donnent les cinq inconnues.

Torseur dynamique. $G$ décrit à $\omega =2\pi N/60=151,8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ un cercle de rayon $e$ ; avec $\overrightarrow{u}(t)$ le vecteur unitaire de l'axe vers $G$, perpendiculaire à ${\overrightarrow{x}}_0$ et tournant avec le rotor, $\overrightarrow{\Gamma }(G/R_0)=-e{\omega }^2\overrightarrow{u}$. Comme $\overrightarrow{\Omega }=\omega {\overrightarrow{x}}_0$ est constant et porté par un axe principal d'inertie en $G$, $\overrightarrow{\sigma }(G)=C\omega {\overrightarrow{x}}_0$ est constant et $\overrightarrow{\delta }(G)=\overrightarrow{0}$. Par transport, $\overrightarrow{\delta }(A)=\overrightarrow{AG}\wedge M\overrightarrow{\Gamma }(G)=-aMe{\omega }^2{\overrightarrow{x}}_0\wedge \overrightarrow{u}$ (le terme en $e\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{u}$ est nul).

Théorème du moment dynamique en $A$, composantes perpendiculaires à l'axe : la rotule n'a pas de moment en $A$, la poussée est portée par l'axe ; il reste

$$\overrightarrow{AB}\wedge {\overrightarrow{R}}_B+\overrightarrow{AG}\wedge (-Mg{\overrightarrow{y}}_0)=-aMe{\omega }^2{\overrightarrow{x}}_0\wedge \overrightarrow{u},{\overrightarrow{R}}_B=Y_B{\overrightarrow{y}}_0+Z_B{\overrightarrow{z}}_0.$$

Avec $\overrightarrow{AB}=-b{\overrightarrow{x}}_0$, cela donne $b{\overrightarrow{x}}_0\wedge {\overrightarrow{R}}_B=-a{\overrightarrow{x}}_0\wedge \left(Mg{\overrightarrow{y}}_0-Me{\omega }^2\overrightarrow{u}\right)$ (le terme $e\overrightarrow{u}\wedge (-Mg{\overrightarrow{y}}_0)$ est porté par ${\overrightarrow{x}}_0$ et n'entre que dans l'équation du mouvement), soit, ${\overrightarrow{R}}_B$ étant perpendiculaire à ${\overrightarrow{x}}_0$ :

$${\overrightarrow{R}}_B=-\frac{a}{b}Mg{\overrightarrow{y}}_0+\frac{a}{b}Me{\omega }^2\overrightarrow{u}.$$

Théorème de la résultante dynamique : ${\overrightarrow{R}}_A+{\overrightarrow{R}}_B-Mg{\overrightarrow{y}}_0-F_a{\overrightarrow{x}}_0=-Me{\omega }^2\overrightarrow{u}$, d'où

$$X_A=F_a=150\mathrm{N},{\overrightarrow{R}}_A-X_A{\overrightarrow{x}}_0=\frac{a+b}{b}Mg{\overrightarrow{y}}_0-\frac{a+b}{b}Me{\omega }^2\overrightarrow{u}.$$

Part statique : $Mg=78,5\mathrm{N}$, $\frac{a+b}{b}=1,75$ et $\frac{a}{b}=0,75$ : $Y_A=1,75Mg=137,3\mathrm{N}$ et $Y_B=-0,75Mg=-58,9\mathrm{N}$. Le roulement arrière tire le rotor vers le bas : la turbine en porte-à-faux fait levier sur le roulement $A$, qui porte plus que le poids total. Cas limite : si $G$ était entre les roulements, à la distance $c$ de $A$, on trouverait $Y_B=\frac{c}{b}Mg>0$ ; le signe négatif est la signature du porte-à-faux.

Part tournante : $Me{\omega }^2=8\times 4\times 10^{-5}\times 151,8^2=7,38\mathrm{N}$, soit $12,9\mathrm{N}$ en $A$ et $5,5\mathrm{N}$ en $B$, des efforts qui tournent avec le rotor (en opposition de phase entre $A$ et $B$). C'est $9\%$ du poids : le rotor est bien équilibré ($e\omega =6,1\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$, l'ordre de grandeur usuel pour un ventilateur). Comme pour toute force tournante, l'effort est en ${\omega }^2$ : à vitesse double, il serait multiplié par quatre.

4. Deux pivots : $N_s=5+5=10$, $h=10-6+1=5$. Pivot et linéaire annulaire : $N_s=5+2=7$, $h=2$. Ces modèles décrivent des roulements qui empêcheraient aussi des rotations perpendiculaires à l'axe ; le principe fondamental n'en détermine pas les actions.

5. L'allongement libre entre les roulements vaut $\Delta L=\alpha \Delta Tb=12\times 10^{-6}\times 40\times 0,20=0,096\mathrm{mm}$. Si les deux roulements étaient arrêtés axialement — c'est le modèle à deux rotules —, cette dilatation empêchée créerait un effort axial que le principe fondamental ne voit pas : il est autoéquilibré ($X_A$ et $X_B$ opposés), il s'ajoute à $X_A+X_B=F_a$ sans le changer. La relation donnée (qui relève de la résistance des matériaux, hors du modèle du solide indéformable) en fournit un majorant, en supposant le carter et les roulements infiniment rigides : $F=ES\alpha \Delta T=210\times 10^9\times 4,91\times 10^{-4}\times 12\times 10^{-6}\times 40\approx 49\mathrm{kN}$, trois cents fois la poussée utile. D'où la règle de montage : un seul roulement « fixe » (arrêté axialement, ici $A$, qui porte $F_a$) et un roulement « libre » (qui peut coulisser dans son logement, $B$) ; le modèle isostatique de la question 3 est la traduction exacte de ce choix.

Ce que l'exercice installe. Le principe fondamental ne calcule que ce que le modèle détermine : l'hyperstatisme se lit sur le modèle ($h=N_s-6(p-1)+m$), pas sur le choix des équations. La substitution de liaisons (rotule et linéaire annulaire) rend le modèle isostatique, et elle correspond à un choix de conception réel, le montage « fixe – libre ». Le porte-à-faux, lui, se paie en effort sur le roulement voisin de la turbine.