Axe de découpe laser : choisir le pas de la vis par l'adaptation d'inertie

La stratégie. On écrit l'énergie cinétique à l'aide de la seule vitesse du moteur, ce qui donne $J_{\text{eˊq}}(\rho )$ ; le TEC à accélération imposée donne le couple ; on minimise en $\rho$, puis on confronte l'optimum aux contraintes du catalogue et de vitesse.

1) Inertie et masse équivalentes. La vis avance de $p$ par tour : $V_{\text{chariot}}=\rho {\dot{\theta }}_m$. Donc $$E_c=\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}_m^2+\frac{1}{2}M{V}_{\text{chariot}}^2=\frac{1}{2}\left(J+M{\rho }^2\right){\dot{\theta }}_m^2=\frac{1}{2}\left(M+\frac{J}{{\rho }^2}\right)V_{\text{chariot}}^2,$$ d'où $J_{\text{eˊq}}=J+M{\rho }^2$ (vue du moteur) et $M_{\text{eˊq}}=M+J/{\rho }^2$ (vue du chariot) : la même énergie, écrite avec deux vitesses différentes.

2) Le couple d'accélération. Les seules puissances non nulles sont celle du couple moteur, $C_m{\dot{\theta }}_m$, et, liaisons parfaites, aucune autre. Le TEC donne $J_{\text{eˊq}}{\dot{\theta }}_m{\ddot{\theta }}_m=C_m{\dot{\theta }}_m$, avec ${\ddot{\theta }}_m=a/\rho$ : $$C_m(\rho )=\left(J+M{\rho }^2\right)\frac{a}{\rho }=\frac{Ja}{\rho }+Ma\rho .$$ Deux termes en sens contraire : un petit pas réduit la part du chariot mais oblige le moteur à accélérer beaucoup sa propre inertie ; un grand pas fait l'inverse.

3) L'adaptation d'inertie. $\frac{\mathrm{d}{C}_m}{\mathrm{d}\rho }=-\frac{Ja}{{\rho }^2}+Ma=0$ pour ${\rho }^{\ast }=\sqrt{J/M}$, c'est-à-dire $M{\rho }^{\ast 2}=J$ : la masse ramenée à l'arbre moteur égale l'inertie du moteur. Le couple minimal vaut alors $$C_{\min }=2a\sqrt{JM}.$$ Numériquement ${\rho }^{\ast }=\sqrt{2,5\times 10^{-4}/40}=2,5\times 10^{-3}\mathrm{m}$, $p^{\ast }=2\pi {\rho }^{\ast }=15,7\mathrm{mm}$ et $C_{\min }=2\times 10\times \sqrt{2,5\times 10^{-4}\times 40}=2,00\mathrm{N}\mathrm{m}$. En posant $\rho =k{\rho }^{\ast }$, $C_m=C_{\min }\frac{1}{2}\left(k+\frac{1}{k}\right)$ : un écart de $20\%$ sur $\rho$ ne coûte que $+1,7\%$ ($k=1,2$) à $+2,5\%$ ($k=0,8$) de couple. L'optimum est plat : on a de la latitude.

4) Le catalogue et la vitesse. À $V=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ le moteur tourne à $N=V/p$ ; la contrainte $N\le 6000tr/min=100\mathrm{tr}{\mathrm{s}}^{-1}$ impose $p\ge 10\mathrm{mm}$.

Le pas de $5\mathrm{mm}$ est exclu par la vitesse ; celui de $10\mathrm{mm}$ est en butée ($6000tr/min$, aucune marge) et demande $10\%$ de couple en plus. On retient $p=16\mathrm{mm}$ : $2,00\mathrm{N}\mathrm{m}$, à l'optimum, et $3750tr/min$, avec $37\%$ de marge en vitesse. Les deux exigences sont satisfaites.

5) L'axe vertical. En montée, la pesanteur a la puissance $-Mg{V}_{\text{chariot}}$ et le TEC donne $C_m=\frac{Ja}{\rho }+M(a+g)\rho$ : ${\rho }^{\ast }=\sqrt{\frac{Ja}{M(a+g)}}$, $p^{\ast }=11,2\mathrm{mm}$, et $2,83\mathrm{N}\mathrm{m}$ à $10\mathrm{mm}$ contre $3,00$ à $16\mathrm{mm}$ : le choix s'inverse pour le couple, mais $10\mathrm{mm}$ reste en butée de vitesse ; il faut trancher (moteur plus gros, ou vitesse rapide réduite). Et la vis à billes, réversible, impose un frein (ou un couple de maintien permanent $Mg\rho =1,0\mathrm{N}\mathrm{m}$ à $16\mathrm{mm}$).

6) Cas limite : la charge lourde. Avec $M=400\mathrm{kg}$, $p^{\ast }=2\pi \sqrt{J/M}=5,0\mathrm{mm}$, qui exigerait $12000tr/min$ à $1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : la contrainte de vitesse l'emporte. On prend $p=10\mathrm{mm}$ et $C_m=7,9\mathrm{N}\mathrm{m}$, au lieu du minimum théorique $6,3\mathrm{N}\mathrm{m}$. L'adaptation d'inertie est un optimum sous contraintes : quand elle devient inaccessible, on change de moteur (plus d'inertie, plus de couple) ou l'on ajoute un réducteur, qui joue le même rôle que le pas.

Ce que l'exercice installe. L'inertie (ou la masse) équivalente se lit sur l'énergie cinétique écrite avec une seule vitesse ; elle dépend du carré du rapport de transmission. Le couple d'accélération est minimal quand la charge ramenée égale l'inertie du moteur (adaptation d'inertie), et l'optimum est plat. Puis la conclusion revient au cahier des charges : catalogue, vitesse maximale, pesanteur, maintien à l'arrêt.