Énergie cinétique d'un cylindre roulant sans glisser

Puissances et Théorèmes Énergétiques · niveau 2

Énoncé

Un rouleau cylindrique plein, homogène, de masse $m$ et de rayon $R$ , roule sans glisser sur un sol plan horizontal ; son centre $G$ avance à la vitesse $V$ . Calculer son énergie cinétique. Que vaut la puissance des actions du sol sur le rouleau ? Et s'il glissait ?

Corrigé

Roulement sans glissement : $V (I \in rouleau / sol) = 0$ , d'où $V = R ω$ . Par Koenig, avec $J_{G} = \frac{1}{2} m R^{2}$ (cylindre plein) : $E_{c} = \frac{1}{2} m V^{2} + \frac{1}{2} J_{G} ω^{2} = \frac{1}{2} m V^{2} + \frac{1}{4} m V^{2} = \frac{3}{4} m V^{2}$ . On peut aussi écrire le mouvement comme une rotation instantanée autour de $I$ : $E_{c} = \frac{1}{2} J_{I} ω^{2}$ avec $J_{I} = J_{G} + m R^{2} = \frac{3}{2} m R^{2}$ (Huygens), et l'on retrouve $\frac{3}{4} m V^{2}$ . Le tiers de l'énergie cinétique est de rotation.

L'action du sol se réduit en $I$ à une force $R = T x + N y$ (pas de résistance au roulement) : $P (sol \to rouleau) = R \cdot V (I \in rouleau / sol) = 0$ , même si la composante tangentielle $T$ (adhérence) est non nulle. S'il glissait à la vitesse $v_{g}$ , le frottement de Coulomb $∣ T ∣ = f N$ , opposé au glissement, donnerait $P = - f N v_{g} < 0$ .