Quatre quadrants : ce que doit faire le variateur d'un ascenseur

• ${\dot{\theta }}_{\max }=V/R=8\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $|\ddot{\theta }|=4\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$ ; chaque rampe dure $2\mathrm{s}$ et couvre $8\mathrm{rad}$, le palier $134\mathrm{rad}$ ($16,75\mathrm{s}$). À pleine charge, $C_{\text{stat}}=(M_c+m_u-M_{cp})gR=784,8\mathrm{Nm}$ et $(M_c+m_u+M_{cp})R^2=144\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$ ; à vide, $C_{\text{stat}}=-784,8\mathrm{Nm}$ et $112\mathrm{kg}\square \mathrm{m}$. En descente, $\ddot{\theta }=-4$ en accélération et $+4$ en décélération. Couples (en $\mathrm{Nm}$), dans l'ordre accélération, palier, décélération :

• montée à pleine charge : $C_{\text{ch}}=1360,8$ ; $784,8$ ; $208,8$, toujours de même signe que $\dot{\theta }$ : $C_m=40+\frac{1360,8}{0,85}=1640,9$ ; $923,3$ ; $205,6$ ;
• descente à pleine charge : $C_{\text{ch}}=208,8$ ; $784,8$ ; $1360,8$, de signe opposé à $\dot{\theta }$ (la charge entraîne) : $C_m=-40+0,85\times 208,8=137,5$ ; $667,1$ ; $1196,7$ ;
• montée à vide : $C_{\text{ch}}=-336,8$ ; $-784,8$ ; $-1232,8$ (le contrepoids, plus lourd, entraîne) : $C_m=-246,3$ ; $-667,1$ ; $-1087,9$ ;
• descente à vide : $C_{\text{ch}}=-1232,8$ ; $-784,8$ ; $-336,8$, de même signe que $\dot{\theta }$ : $C_m=-1490,4$ ; $-923,3$ ; $-356,2$.

Chaque trajet reste dans un seul quadrant (les sauts de couple entre phases sont instantanés dans ce modèle) : montée chargée en 1 et descente à vide en 3 (moteur), descente chargée en 4 et montée à vide en 2 (générateur). Les quatre quadrants sont visités : un variateur à un seul quadrant ne pourrait ni retenir la cabine chargée qui descend ni freiner le contrepoids qui l'emporte à vide. Avec le demi-équilibrage, la cabine l'emporte sur le contrepoids au-delà de la demi-charge et lui cède en deçà : les deux régimes, moteur et générateur, se rencontrent dans le service courant, dans les deux sens de marche.

• Sur un trajet qui reste dans un quadrant, les termes d'inertie s'annulent entre l'accélération et la décélération (même angle de $8\mathrm{rad}$, couples d'inertie opposés, même facteur $1/\eta$ ou $\eta$) : seule reste la part statique, sur $H/R=150\mathrm{rad}$. En régime moteur, $W=\frac{|C_{\text{stat}}|}{\eta }\cdot \frac{H}{R}=\frac{784,8}{0,85}\times 150=138,5\mathrm{kJ}$ fournis (montée chargée et descente à vide) ; en régime générateur, $W=\eta |C_{\text{stat}}|\frac{H}{R}=100,1\mathrm{kJ}$ reçus (descente chargée et montée à vide). Le calcul phase par phase le confirme : $1640,9\times 8+923,3\times 134+205,6\times 8=138,5\mathrm{kJ}$. La symétrie vient du demi-équilibrage : le déséquilibre à vide, $-\frac{m_u}{2}g$, est l'opposé de celui à pleine charge ; les inerties différentes ne changent rien au bilan d'un trajet complet.
• Avec un pont de diodes, l'énergie renvoyée par la machine ne peut pas remonter au réseau : elle charge le bus continu du variateur, dont la tension monte, et un hacheur de freinage la dissipe dans une résistance de freinage. La puissance crête renvoyée par la machine est atteinte au début de la décélération d'une descente chargée : $1196,7\times 8=9,57\mathrm{kW}$ à l'arbre, soit $0,90\times 9,57=8,6\mathrm{kW}$ dans la résistance (moyenne sur ce trajet : $0,90\times 100,1/20,75=4,3\mathrm{kW}$). L'association machine-variateur fonctionne bien dans les quatre quadrants ; c'est l'alimentation qui ne reçoit rien.
• Variateur réversible : le réseau fournit $\frac{138,5}{0,90}=153,9\mathrm{kJ}$ par trajet moteur, soit $307,8\mathrm{kJ}$ par cycle ; il reçoit $0,90\times 100,1=90,1\mathrm{kJ}$ par trajet générateur, soit $180,1\mathrm{kJ}$. Consommation nette : $127,7\mathrm{kJ}$ par cycle au lieu de $307,8\mathrm{kJ}$, une économie de $59\%$. Sur le cycle, cabine, charge et contrepoids reviennent à leur niveau de départ : l'énergie potentielle nette est nulle, et la consommation nette n'est faite que de pertes ($2\times (138,5-100,1)=76,9\mathrm{kJ}$ dans la transmission, $50,8\mathrm{kJ}$ dans le variateur et la machine).
• Pour 100 cycles par jour, le variateur réversible renvoie $180,1\times 100\times 365=6,6\mathrm{GJ}$, soit environ $1,8\mathrm{MWh}$ par an, qui seraient sinon dissipés en chaleur dans la résistance (qu'il faut ventiler). Le préactionneur se choisit donc sur le trafic : réversible pour un immeuble de bureaux, où son surcoût se rembourse ; pont de diodes et résistance de freinage pour un petit immeuble à faible trafic. Dans les deux cas, l'association machine-variateur doit couvrir les quatre quadrants : c'est une exigence de la charge, pas un choix.