sciences industrielles (PSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La buse d'imprimante 3D : ce que le proportionnel ne peut pas faire

Systèmes asservis : correction · A. Objectifs et limites de la correction proportionnelle · niveau 2

Énoncé

Une imprimante 3D à dépôt de fil régule la température de sa buse. Une cartouche chauffante chauffe le bloc en aluminium qui porte la buse (constante de temps $τ_{1} = 50 s$ ) ; une thermistance mesure la température avec une constante de temps $τ_{2} = 5 s$ . Les températures sont comptées à partir de la température ambiante, $20^{\circ} C$ , et l'on raisonne sur la température mesurée $θ_{m}$ , ce qui permet un schéma à retour unitaire. Le correcteur est proportionnel ; $K$ désigne le gain statique de la boucle ouverte, réglable : $FTBO (p) = \frac{K}{( 1 + τ _{1} p ) ( 1 + τ _{2} p )} .$ Le ventilateur qui refroidit la pièce imprimée, mis en route en cours d'impression, agit comme une perturbation en échelon $Δ_{v}$ à l'entrée du bloc chauffant : sans régulation, il abaisserait la température de $30^{\circ} C$ .

Cahier des charges, pour un échelon de consigne de $180^{\circ} C$ (de $20$ à $200^{\circ} C$ ) :

Exigence	Critère	Niveau
précision	écart statique relatif	$\leq 2 %$ , soit $3, 6^{\circ} C$
stabilité	dépassement $D$ (pas une marge)	$\leq 5 %$
rapidité	temps de réponse $t_{5%}$	$\leq 60 s$
rejet du ventilateur	écart permanent dû à $Δ_{v}$	$\leq 2^{\circ} C$

Donnée : sans régulation (commande en échelon), la buse atteint $95 %$ de sa température finale en $155 s$ .

1) Mettre la fonction de transfert en boucle fermée sous forme canonique. Exprimer son gain statique, sa pulsation propre $ω_{0}$ et son coefficient d'amortissement $ξ$ en fonction de $K$ . En déduire l'écart statique relatif.

2) Précision. Quel gain minimal la précision impose-t-elle ? Calculer alors $ξ$ , le dépassement (en pourcentage et en degrés) et le temps de réponse. Commenter.

3) Stabilité. Quel gain maximal l'exigence de dépassement autorise-t-elle ? Calculer alors l'écart statique (en degrés), l'écart dû au ventilateur et le temps de réponse. Comparer à la boucle ouverte.

4) Calculer la marge de phase pour le gain de la question 3, puis pour celui de la question 2. Une habitude répandue associe « bon amortissement » à « $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ » : que vaut-elle ici ? Que vaut la marge de gain ? Le correcteur proportionnel peut-il rendre cette boucle instable ?

5) Dresser le tableau exigence / valeur / écart pour les deux réglages et conclure. Le modèle linéaire reste-t-il crédible pour le gain de la question 2 ? Quelle structure de correcteur faut-il ?

Corrigé

La stratégie. Chaque exigence donne une borne sur l'unique paramètre $K$ : la précision une borne inférieure, le dépassement une borne supérieure. On les compare.

1) La boucle fermée. Avec un retour unitaire, $FTBF (p) = \frac{FTBO}{1 + FTBO} = \frac{K}{( 1 + τ _{1} p ) ( 1 + τ _{2} p ) + K} = \frac{\frac{K}{1 + K}}{1 + \frac{τ _{1} + τ _{2}}{1 + K} p + \frac{τ _{1} τ _{2}}{1 + K} p ^{2}} .$ Par identification avec $\frac{K _{B F}}{1 + \frac{2 ξ}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}$ : $K_{B F} = \frac{K}{1 + K}, ω_{0} = \frac{1 + K}{τ _{1} τ _{2}}, ξ = \frac{τ _{1} + τ _{2}}{2 τ _{1} τ _{2} ( 1 + K )} .$ La FTBO est de classe 0 : l'écart statique relatif vaut $1 - K_{B F} = \frac{1}{1 + K}$ . Le seul paramètre $K$ fixe à la fois la précision, la rapidité ( $ω_{0} \propto 1 + K$ ) et l'amortissement ( $ξ \propto 1/ 1 + K$ ).

2) La borne de précision. $\frac{1}{1 + K} \leq 0, 02$ impose $K \geq 49$ . Alors $1 + K = 50$ , $τ_{1} τ_{2} = 250 s^{2}$ , $250 \times 50 = 111, 8 s$ et $ξ = \frac{55}{2 \times 111 , 8} = 0, 246, D = exp (- \frac{π \times 0 , 246}{1 - 0 , 24 6 ^{2}}) = e^{- 0, 797} = 0, 45.$ Le dépassement vaut $45 %$ de $0, 98 \times 180 = 176^{\circ} C$ , soit $80^{\circ} C$ : la buse monterait à $276^{\circ} C$ , de quoi dégrader le filament. Avec $ω_{0} = 50/250 = 0, 447 rad s^{- 1}$ et l'abaque ( $t_{5%} ω_{0} \approx 10, 8$ pour $ξ \approx 0, 25$ ), $t_{5%} \approx 24 s$ : rapide, mais très oscillant.

3) La borne de stabilité. $D \leq 5 %$ équivaut à $\frac{π ξ}{1 - ξ ^{2}} \geq - ln 0, 05 = 3, 00$ , soit $ξ \geq \frac{3 , 00}{π ^{2} + 3 , 0 0 ^{2}} = 0, 690$ . Comme $ξ$ décroît avec $K$ , l'exigence borne $K$ par le haut : $1 + K \leq \frac{( τ _{1} + τ _{2} ) ^{2}}{4 ξ ^{2} τ _{1} τ _{2}} = \frac{5 5 ^{2}}{4 \times 0 , 69 0 ^{2} \times 250} = 6, 35, K \leq 5, 35.$ Pour $K = 5, 35$ : écart statique $\frac{1}{6 , 35} = 15, 7 %$ , soit $28^{\circ} C$ (la buse se stabilise à $172^{\circ} C$ au lieu de $200$ ) ; écart dû au ventilateur, qui subit la même atténuation $1/ (1 + K)$ en classe 0 : $\frac{30}{6 , 35} = 4, 7^{\circ} C$ . Rapidité : $ω_{0} = 6, 35/250 = 0, 159 rad s^{- 1}$ et $t_{5%} \approx \frac{2 , 9}{0 , 159} \approx 18 s$ , contre $155 s$ sans régulation : le bouclage divise le temps de réponse par neuf, même avec un gain modeste.

4) Marges : une marge n'est pas un dépassement. La coupure vérifie $∣ FTBO (j ω_{c})∣ = 1$ , soit $(1 + τ_{1}^{2} ω_{c}^{2}) (1 + τ_{2}^{2} ω_{c}^{2}) = K^{2}$ , équation du second degré en $x = ω_{c}^{2}$ : $τ_{1}^{2} τ_{2}^{2} x^{2} + (τ_{1}^{2} + τ_{2}^{2}) x + 1 - K^{2} = 0$ , c'est-à-dire $62500 x^{2} + 2525 x + 1 - K^{2} = 0$ .

$K = 5, 35$ : $x = 8, 96 \times 1 0^{- 3}$ , $ω_{c} = 0, 0946 rad s^{- 1}$ ; phase $- arctan (4, 73) - arctan (0, 473) = - 78, 1^{\circ} - 25, 3^{\circ} = - 103, 4^{\circ}$ , donc $M_{φ} = 76, 6^{\circ}$ .
$K = 49$ : $x = 0, 177$ , $ω_{c} = 0, 420 rad s^{- 1}$ ; phase $- arctan (21, 0) - arctan (2, 10) = - 87, 3^{\circ} - 64, 6^{\circ} = - 151, 8^{\circ}$ , donc $M_{φ} = 28, 2^{\circ}$ .

Le dépassement de $5 %$ correspond ici à $M_{φ} \approx 7 7^{\circ}$ , pas à $4 5^{\circ}$ : la correspondance dépend de la forme de la FTBO (en classe 1 et d'ordre 2, l'exercice 3 établira $D = 5 % \Leftrightarrow M_{φ} \approx 6 5^{\circ}$ ). On vérifie le critère que le cahier des charges écrit. Enfin, la phase de deux premiers ordres n'atteint $- 18 0^{\circ}$ qu'à l'infini : $M_{G}$ est infinie, et aucun gain ne rend cette boucle instable ; le gain dégrade l'amortissement, pas la stabilité.

5) Bilan.

Exigence	$K = 5, 35$ (borne de stabilité)	$K = 49$ (borne de précision)
écart statique $\leq 3, 6^{\circ}$ C	$28^{\circ}$ C : non tenue	$3, 6^{\circ}$ C : tenue
$D \leq 5 %$	$5 %$ : tenue	$45 %$ : non tenue
$t_{5%} \leq 60 s$	$18 s$ : tenue	$24 s$ : tenue
ventilateur $\leq 2^{\circ}$ C	$4, 7^{\circ}$ C : non tenue	$0, 6^{\circ}$ C : tenue

Les deux bornes, $K \geq 49$ et $K \leq 5, 35$ , sont dans un rapport neuf : aucun gain proportionnel ne convient. De plus, à $K = 49$ , la commande initiale vaut $49$ fois l'écart : la cartouche ne peut pas fournir $49$ fois sa puissance de régime, elle sature, et le modèle linéaire, qui donnait $D = 45 %$ , cesse d'être valable. Il faut annuler l'écart statique sans relever le gain à la coupure : une action intégrale (classe 1).

Ce que l'exercice installe. Le dilemme du proportionnel se chiffre : chaque exigence donne une borne sur $K$ , et l'on compare les bornes. Une exigence de dépassement se vérifie sur le dépassement, pas sur une marge « habituelle » ( $5 %$ correspond ici à $7 7^{\circ}$ ). Et un réglage se juge aussi à la commande qu'il demande : un gain fort fait saturer l'actionneur.

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