sciences industrielles (PSI) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Problème — Drone en tangage : une ou deux cellules d'avance de phase ?

Systèmes asservis : correction · niveau 2

Énoncé

Le tangage $θ$ d'un drone quadrirotor obéit à $J θ ¨ = C - C_{v}$ , avec $J = 0, 03 kg m^{2}$ ; le couple $C$ produit par la différence de poussée des rotors suit le couple demandé $C_{d}$ avec une constante de temps $τ = 20 ms$ ; $C_{v}$ est le couple d'une rafale de vent. Le correcteur $C (p)$ élabore $C_{d}$ à partir de l'écart $θ_{c} - θ$ (en radians).

Montrer qu'aucun correcteur proportionnel ne stabilise le tangage.
On veut $ω_{c} = 10 rad s^{- 1}$ et $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ avec une cellule $C (p) = K_{c} \frac{1 + a T p}{1 + T p}$ centrée sur $ω_{c}$ . Calculer $a$ , $T$ , $K_{c}$ et le gain en hautes fréquences.
Même question avec deux cellules identiques en série. Comparer.
Une rafale exerce un échelon de couple $C_{v} = 0, 05 N m$ . Calculer l'écart permanent d'assiette. Conclure.

Corrigé

Avec $C = K_{p}$ , $FTBO = \frac{K _{p}}{J p ^{2} ( 1 + τ p )}$ , de phase $- 18 0^{\circ} - arctan (τ ω) < - 18 0^{\circ}$ à toute pulsation : la marge de phase est négative quel que soit $K_{p}$ , la boucle est instable. Sans le retard des rotors, la phase vaudrait exactement $- 18 0^{\circ}$ : oscillation non amortie. Un double intégrateur demande de l'avance de phase.
À $10 rad s^{- 1}$ , la phase vaut $- 18 0^{\circ} - arctan (0, 2) = - 191, 3^{\circ}$ : pour $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ , il faut apporter $φ_{m a x} = 56, 3^{\circ}$ . $a = \frac{1 + sin 56 , 3 ^{\circ}}{1 - sin 56 , 3 ^{\circ}} = 10, 9$ ; $T = \frac{1}{10 10 , 9} = 30, 3 ms$ , $a T = 0, 33 s$ . Gain : $K_{c} a = J ω_{c}^{2} 1 + τ^{2} ω_{c}^{2} = 0, 03 \times 100 \times 1, 020 = 3, 06 N m ra d^{- 1}$ , d'où $K_{c} = 0, 93 N m ra d^{- 1}$ . En hautes fréquences, le gain est multiplié par $a$ : $+ 20, 8 dB$ .
Deux cellules de $28, 2^{\circ}$ chacune : $a = \frac{1 + sin 28 , 2 ^{\circ}}{1 - sin 28 , 2 ^{\circ}} = 2, 79$ , $T = \frac{1}{10 2 , 79} = 59, 9 ms$ , et $K_{c} a = 3, 06$ , soit $K_{c} = 1, 10 N m ra d^{- 1}$ . Gain en hautes fréquences : $a^{2} = 7, 8$ , soit $+ 17, 8 dB$ , trois décibels de moins qu'avec une cellule : le bruit du gyromètre est moins amplifié. Au-delà de $5 5^{\circ}$ à $6 0^{\circ}$ par cellule, $a$ croît très vite ( $13, 9$ pour $6 0^{\circ}$ ) : on répartit.
En régime permanent, l'assiette est constante : le couple produit équilibre la rafale, $K_{c} ε_{\infty} = C_{v}$ (gain statique de la cellule : $K_{c}$ ). Une cellule : $ε_{\infty} = \frac{0 , 05}{0 , 93} = 0, 054 rad = 3, 1^{\circ}$ ; deux cellules : $2, 6^{\circ}$ . Les deux intégrateurs de la mécanique sont en aval de la perturbation et ne l'annulent pas : il faut ajouter une action intégrale au correcteur (zéro une décade sous la coupure, quelques degrés de marge à reprendre).

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