Complément (hors programme) — fonctions de sensibilité

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Pour $L (p) = \frac{10}{p ( 1 + 0 , 1 p )}$ , calculer $S (p)$ , le pic de sensibilité $M_{s}$ et la pulsation où il est atteint. Comparer à la borne tirée de la marge de phase, et calculer la marge de retard.

Corrigé

$S (p) = \frac{p ( 1 + 0 , 1 p )}{0 , 1 p ^{2} + p + 10} = \frac{p ^{2} + 10 p}{p ^{2} + 10 p + 100}$ , et, avec $u = ω^{2}$ ,

$∣ S (j ω) ∣^{2} = \frac{u ^{2} + 100 u}{u ^{2} - 100 u + 1 0 ^{4}} = f (u) .$

$f^{'} (u) = 0$ équivaut à $(2 u + 100) (u^{2} - 100 u + 1 0^{4}) - (u^{2} + 100 u) (2 u - 100) = 0$ , soit, après simplification, $- 200 u^{2} + 2 \times 1 0^{4} u + 1 0^{6} = 0$ , c'est-à-dire $u^{2} - 100 u - 5000 = 0$ : $u = 50 + 7500 = 136, 6$ , $ω = 11, 7 rad s^{- 1}$ , et $f = \frac{32 320}{15 000} = 2, 155$ :

$M_{s} = 1, 468 (3, 33 dB) en 11, 7 rad s^{- 1} .$

(La valeur $∣ S (10 j)∣ = 2$ n'est pas le pic : elle est prise à côté.) Coupure : $ω_{c} = 7, 86 rad s^{- 1}$ , $M_{φ} = 51, 8^{\circ}$ ; borne $\frac{1}{2 sin ( 25 , 9 ^{\circ} )} = 1, 14 \leq 1, 468$ : le pic est atteint au-delà de la coupure. Marge de retard : $τ_{R} = \frac{0 , 905}{7 , 86} = 115 ms$ . $M_{s} \approx 1, 5$ est une valeur usuelle : robustesse correcte, sans plus.