Complément (hors programme) — Problème : le gyropode, stabiliser un pendule inversé par l'angle et sa vitesse

1. Modèle. Dans le référentiel lié à l'essieu, en translation d'accélération $a$, on ajoute la force d'inertie d'entraînement $-ma$ (horizontale) appliquée en $G$. Le moment dynamique en $A$, fixe dans ce référentiel, de la rotation autour de l'axe des roues vaut $J_A\ddot{\theta }$ (théorème de Huygens : $J_A=J_G+m{h}^2$), et les moments en $A$ du poids et de la force d'inertie valent $mgh\sin \theta$ et $-mah\cos \theta$. D'où $J_A\ddot{\theta }=mh(g\sin \theta -a\cos \theta )$, soit $\ell \ddot{\theta }=g\sin \theta -a\cos \theta$. Longueurs : $\ell =0,94\mathrm{m}$ (enfant), $1,25\mathrm{m}$ (adulte), $1,31\mathrm{m}$ (lourd). Linéarisé autour de $\theta =0$ : $\ell \ddot{\theta }=g\theta -a$, et

$$\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ g/\ell & 0\end{array}\right)X+\left(\begin{array}{c}0\\ -1/\ell \end{array}\right)a.$$

$\det (pI-A)=p^2-g/\ell$ : pôles $\pm \sqrt{g/\ell }=\pm 2,80{\mathrm{s}}^{-1}$ pour l'adulte. Le pôle instable a une constante de temps de $0,36\mathrm{s}$ : sans commande, on tombe en une demi-seconde.

2. L'inclinomètre seul. $\ell \ddot{\theta }=(g-k_1)\theta$ : polynôme $\ell p^2+(k_1-g)$, sans terme en $p$. Pour $k_1<g$, deux racines réelles de signes opposés (chute) ; pour $k_1>g$, deux racines imaginaires pures (oscillation entretenue). Jamais asymptotiquement stable : il faut l'information de vitesse, d'où le gyromètre.

3. Angle et vitesse. $\ell \ddot{\theta }=g\theta -k_1\theta -k_2\dot{\theta }$ donne $\ell p^2+k_{2}p+(k_1-g)$ : au degré $2$, stable si et seulement si $k_1>g$ et $k_2>0$, quel que soit $\ell$, donc quel que soit le passager. Par identification avec $\ell (p^2+2\xi {\omega }_{0}p+{\omega }_0^2)$ : $k_1=g+\ell {\omega }_0^2=9,81+1,25\times 16=29,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}$ et $k_2=2\xi {\omega }_0\ell =7,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{ra}{\mathrm{d}}^{-1}$. Pour un autre passager, ${\omega }_0=\sqrt{(k_1-g)/\ell }$ et $\xi =\frac{k_2}{2\ell {\omega }_0}$ : enfant $4,61\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $0,81$ ; lourd $3,90\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $0,68$. Toutes les exigences sont tenues. (Ce réglage est un retour d'état : $a=-KX$ avec $K=-\left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_2\end{array}\right)$.)

4. Le retard. Avec un retard ${\theta }_r$ sur la mesure, l'équation caractéristique devient $\ell p^2-g+(k_1+k_{2}p){\mathrm{e}}^{-{\theta }_{r}p}=0$. À la limite de stabilité, $p=\mathrm{j}\omega$ : $(k_1+\mathrm{j}{k}_2\omega ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega {\theta }_r}=g+\ell {\omega }^2$. Le module donne une équation du second degré en ${\omega }^2$, ${\ell }^2{\omega }^4+(2g\ell -k_2^2){\omega }^2+g^2-k_1^2=0$ ; l'argument donne ${\theta }_r=\frac{1}{\omega }\arctan \frac{k_2\omega }{k_1}$. On trouve $144$, $164$ et $167\mathrm{ms}$, tous supérieurs à $100\mathrm{ms}$ : tenu. Le passager le plus léger est le plus critique (son pendule est le plus rapide), ce que la simulation confirme (l'enfant diverge pour un retard de $150\mathrm{ms}$, l'adulte non).

5. Saturation. La commande $k_1\theta$ atteint $a_{\max }$ pour $\theta =\frac{3}{29,8}=0,10\mathrm{rad}=5,8^{\circ }$ : au-delà, le modèle linéaire non saturé ne vaut plus. En butée, $\ell \ddot{\theta }=g\sin \theta -a_{\max }\cos \theta$, négatif tant que $\tan \theta <\frac{a_{\max }}{g}$ : le passager est ramené vers la verticale si ${\theta }_0<\arctan \frac{3}{9,81}=17,0^{\circ }$, ce que retrouve la simulation. $10^{\circ }$ se rattrape, mais en saturation.

6. Piloter en se penchant. Le couple $mgd$ ajoute $g\frac{d}{h}$ au second membre : $\ell \ddot{\theta }=g\theta -a+g\frac{d}{h}$. À l'équilibre ($\ddot{\theta }=\dot{\theta }=0$, $a=k_1\theta$) : $\theta =\frac{gd}{h(k_1-g)}=\frac{9,81\times 0,05}{1,00\times 20,0}=0,0245\mathrm{rad}=1,41^{\circ }$ et $a=k_1\theta =0,73\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, constante : le gyropode accélère tant que le passager reste penché, et atteint $20\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ en $7,6\mathrm{s}$. C'est ainsi qu'on le conduit ; une boucle externe borne ensuite la vitesse.

Résultat. Le retour de l'angle et de la vitesse angulaire stabilise le pendule pour tout passager dès que $k_1>g$ et $k_2>0$ ; le passager ne change que ${\omega }_0$ et $\xi$. Ce sont le retard et la saturation, qui dépendent du passager, qui bornent le réglage.