Complément (hors programme) — retour d'état et observateur d'un double intégrateur

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Soit $\frac{d X}{d t} = (0010) X + (01) u$ et $y = x_{1}$ (une masse poussée par une force, mesurée en position).

Calculer $K = (k_{1} k_{2})$ pour que $u = - K X$ place les pôles en $- 2 \pm 2 j$ .
On ne mesure que $x_{1}$ . Calculer le gain $L = (l_{1} l_{2})^{T}$ d'un observateur dont l'erreur a deux pôles en $- 10$ .
Que faut-il ajouter pour annuler l'écart statique face à un échelon de consigne ?

Corrigé

1. $A - B K = (0 - k_{1} 1 - k_{2})$ , de polynôme caractéristique $p^{2} + k_{2} p + k_{1}$ ; le polynôme désiré est $(p + 2)^{2} + 4 = p^{2} + 4 p + 8$ , d'où $k_{1} = 8$ et $k_{2} = 4$ : $u = - 8 x_{1} - 4 x_{2}$ . C'est un retour de la position et de la vitesse, réglé par identification d'un polynôme du second degré.

2. $A - L C = (- l_{1} - l_{2} 10)$ , de polynôme $p^{2} + l_{1} p + l_{2}$ ; le polynôme désiré est $(p + 10)^{2} = p^{2} + 20 p + 100$ , d'où $l_{1} = 20$ et $l_{2} = 100$ . L'observateur est $3, 5$ fois plus rapide que la commande (module des pôles $10$ contre $22 = 2, 83$ ), et par le principe de séparation la boucle complète a pour pôles $- 2 \pm 2 j$ et $- 10$ (double).

3. Une action intégrale : on ajoute l'état $x_{i}$ tel que $x ˙_{i} = r - y$ et l'on commande $u = - K X + k_{i} x_{i}$ . Si la boucle étendue (d'ordre $3$ ) est stable, $x ˙_{i} \to 0$ en régime permanent, donc $y \to r$ : l'écart statique est nul. Il faut donc placer les trois pôles du système étendu ; la nullité de l'écart n'est pas acquise « par construction » sans cette stabilité.