Complément (hors programme) — un mode que l'entrée n'atteint pas

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Soit $\frac{d X}{d t} = A X + B u$ avec $A = (10 2 - 3)$ et $B = (10)$ . Le système est-il commandable ? Quel mode l'entrée n'atteint-elle pas ? Peut-on le stabiliser ? Même question en échangeant les rôles : $A^{'} = (- 3 0 21)$ , même $B$ .

Corrigé

$A B = (10)$ et $(B A B) = (1010)$ , de rang $1 < 2$ : non commandable. Les valeurs propres de $A$ (triangulaire) sont $1$ et $- 3$ . La seconde équation, $x ˙_{2} = - 3 x_{2}$ , ne contient pas $u$ : le mode $- 3$ n'est pas atteint par l'entrée ; il est stable, et s'éteint seul. Le mode instable $+ 1$ , lui, est commandable : $u = - k x_{1}$ donne $x ˙_{1} = (1 - k) x_{1} + 2 x_{2}$ , de valeurs propres $1 - k$ et $- 3$ , stables pour $k > 1$ . Le système est stabilisable. Avec $A^{'}$ , le mode non atteint, $x ˙_{2} = + x_{2}$ , est instable : aucune commande ne l'arrête. Le critère de Kalman dit « non commandable » dans les deux cas ; c'est la stabilité du mode non commandable qui décide.