Deux zones de chauffe couplées : quelles puissances pour deux consignes ?

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Un four de refusion à deux zones chauffe des cartes électroniques. Les élévations de température au-dessus de l'ambiance, $θ_{1}$ et $θ_{2}$ (en $^{\circ} C$ ), dépendent des puissances de chauffe $P_{1}$ et $P_{2}$ (en $kW$ ) selon

$(Θ_{1} Θ_{2}) = \frac{20}{1 + 100 p} \frac{8}{1 + 200 p} \frac{5}{1 + 100 p} \frac{30}{1 + 200 p} (P_{1} P_{2}) (temps en secondes) .$

Quelles puissances donnent, en régime permanent, $θ_{1} = 150^{\circ} C$ et $θ_{2} = 180^{\circ} C$ ? Que donnerait un réglage qui ignore le couplage ?
On place le découpleur statique $D = G (0)^{- 1}$ en amont des résistances. Calculer $D$ . Le découplage vaut-il aussi en régime transitoire ?

Corrigé

1. $G (0) = (208530)$ , $det G (0) = 600 - 40 = 560$ . Le système $G (0) P = θ$ se résout (par une bibliothèque, ou ici à la main) :

$P_{1} = \frac{30 \times 150 - 5 \times 180}{560} = 6, 43 kW, P_{2} = \frac{- 8 \times 150 + 20 \times 180}{560} = 4, 29 kW .$

Vérification : $20 \times 6, 43 + 5 \times 4, 29 = 150$ et $8 \times 6, 43 + 30 \times 4, 29 = 180$ . En ignorant le couplage, on prendrait $P_{1} = \frac{150}{20} = 7, 5 kW$ et $P_{2} = \frac{180}{30} = 6 kW$ , et l'on obtiendrait $θ_{1} = 150 + 30 = 180^{\circ} C$ et $θ_{2} = 60 + 180 = 240^{\circ} C$ : $30$ et $60^{\circ} C$ de trop.

2. $D = \frac{1}{560} (30 - 8 - 5 20) = (0, 0536 - 0, 0143 - 0, 0089 0, 0357) kW^{\circ} C^{- 1}$ . Ici chaque zone a une seule constante de temps, la même pour les deux puissances : $G (p) = diag (\frac{1}{1 + 100 p}, \frac{1}{1 + 200 p}) G (0)$ , donc $G (p) D = diag (\frac{1}{1 + 100 p}, \frac{1}{1 + 200 p})$ : le découplage est exact, même en régime transitoire. Si les constantes de temps dépendaient de l'entrée (chaque résistance ayant sa propre inertie thermique), $G (p) = G (0) diag (\dots)$ et $G (p) D$ ne serait diagonale qu'en régime permanent.