sciences industrielles (PSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

L'enrouleuse de film : un seul correcteur proportionnel intégral pour une bobine qui grossit

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · A. Robustesse : les marges face aux incertitudes du modèle · niveau 3 (difficile)

Énoncé

En bout de ligne de production, un film de polypropylène (masse volumique $ρ = 910 kg m^{- 3}$ , largeur $ℓ = 1, 5 m$ ) s'enroule sur un mandrin de rayon $r_{0} = 76 mm$ entraîné en prise directe par un moteur couple. La vitesse de rotation $Ω$ est asservie par un correcteur proportionnel intégral ; la boucle de courant du moteur et le filtre de mesure se résument à un premier ordre de constante de temps $τ_{Σ} = 4 ms$ . Le moment d'inertie de l'ensemble tournant croît avec le rayon $R$ de la bobine : $J (R) = J_{0} + \frac{ρ π ℓ ( R ^{4} - r _{0}^{4} )}{2}, J_{0} = 0, 50 kg m^{2} (moteur et mandrin, donn e ˊ),$ de $0, 50 kg m^{2}$ à vide à $17, 8 kg m^{2}$ pour la bobine pleine ( $R = 0, 30 m$ ), soit un facteur $35, 6$ . La boucle ouverte s'écrit $FTBO (p) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p} \cdot \frac{1}{J p} \cdot \frac{1}{1 + τ _{Σ} p} .$

Cahier des charges : $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ à tout diamètre ; $ω_{c} \geq 15 rad s^{- 1}$ bobine pleine (rejet des à-coups de tension du film).

1) Écrire la phase de la FTBO. Montrer qu'elle est maximale en $ω^{*} = \frac{1}{T _{i} τ _{Σ}}$ , avec $sin M_{φ m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ où $a = \frac{T _{i}}{τ _{Σ}}$ , et que $K_{p} = J ω^{*}$ fait de $ω^{*}$ la pulsation de coupure. Application : $a = 16$ .

2) On règle à vide ( $J = 0, 50 kg m^{2}$ ). Simulation des marges (donnée) : bobine pleine, $M_{φ} = 17, 8^{\circ}$ et $ω_{c} = 5, 4 rad s^{- 1}$ . Expliquer et conclure.

3) On règle sur la moyenne géométrique $J^{*} = J_{m i n} J_{m a x}$ . Pourquoi ce choix ? Données (simulation) : avec $a = 16$ , $M_{φ} = 40, 5^{\circ}$ aux deux extrémités ; il faut $a = 23, 5$ ( $T_{i} = 94 ms$ ) pour tenir $4 5^{\circ}$ aux deux extrémités, et alors $ω_{c} = 11, 7 rad s^{- 1}$ bobine pleine. Conclure.

4) On fait suivre le gain au rayon : $K_{p} = J (R) ω^{*}$ , le rayon étant estimé par $R = V /Ω$ (vitesse du film mesurée par le rouleau, vitesse de rotation par le codeur). Quelles performances à tout diamètre ? Quelle tolérance reste-t-il sur l'estimation de $J$ ?

5) Cas limite : une bobine de $0, 40 m$ de rayon. Données : $J_{m a x} = 55, 3 kg m^{2}$ ; un réglage fixe tenant $4 5^{\circ}$ exigerait $a = 61$ et donnerait $ω_{c} = 4, 2 rad s^{- 1}$ bobine pleine. Conclure.

Corrigé

La stratégie. La FTBO contient deux intégrateurs (le correcteur et l'inertie) : la phase n'est au-dessus de $- 18 0^{\circ}$ que sur une plage de pulsations, autour d'une « bosse ». Une variation d'inertie déplace la coupure le long de cette bosse ; la robustesse se lit sur sa largeur.

1) La bosse de phase. On regroupe : $FTBO (p) = \frac{K _{p}}{T _{i} J p ^{2}} \cdot \frac{1 + T _{i} p}{1 + τ _{Σ} p}$ . Le second facteur est une cellule à avance de phase, de constantes $a T = T_{i}$ et $T = τ_{Σ}$ ; la phase vaut $φ (ω) = - 18 0^{\circ} + arctan (ω T_{i}) - arctan (ω τ_{Σ}) .$ Le résultat connu de la cellule à avance de phase s'applique : maximum en $ω^{*} = \frac{1}{τ _{Σ} a} = \frac{1}{T _{i} τ _{Σ}}$ , de valeur $sin φ_{m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ , et ici $M_{φ m a x} = φ_{m a x}$ . En $ω^{*}$ , $ω^{*} T_{i} = a$ et $ω^{*} τ_{Σ} = 1/ a$ , donc $∣ FTBO (j ω^{*})∣ = \frac{K _{p}}{J ω ^{*}} \cdot \frac{1 + a}{a} \cdot \frac{1}{1 + 1/ a} = \frac{K _{p}}{J ω ^{*}},$ qui vaut $1$ pour $K_{p} = J ω^{*}$ : la coupure est au sommet de la bosse. Avec $a = 16$ : $T_{i} = 64 ms$ , $ω^{*} = \frac{1}{0 , 004 \times 4} = 62, 5 rad s^{- 1}$ , $M_{φ} = arcsin \frac{15}{17} = 61, 9^{\circ}$ .

2) Réglé à vide. $K_{p} = 0, 50 \times 62, 5 = 31, 3 N m s ra d^{- 1}$ . Bobine pleine, le gain de boucle est divisé par $35, 6$ : la courbe de gain descend de $31 dB$ , la coupure glisse vers les basses pulsations, sur le flanc gauche de la bosse, où la phase retombe vers $- 18 0^{\circ}$ : $17, 8^{\circ}$ et $5, 4 rad s^{- 1}$ , deux exigences non tenues. Réglé bobine pleine, c'est le mandrin vide qui perd sa marge (même $17, 8^{\circ}$ , par symétrie, sur le flanc droit).

3) La moyenne géométrique. La bosse est symétrique en échelle logarithmique autour de $ω^{*}$ , et le gain de boucle est inversement proportionnel à $J$ : régler sur $J^{*} = 0, 50 \times 17, 8 = 2, 98 kg m^{2}$ place les deux extrémités à un même facteur $35, 6 = 5, 97$ du réglage, d'où une même marge aux deux bouts. Avec $a = 16$ , $40, 5^{\circ} < 4 5^{\circ}$ : non tenu. Élargir la bosse ( $a = 23, 5$ ) tient $4 5^{\circ}$ aux deux bouts ( $66, 7^{\circ}$ au milieu), mais un $T_{i}$ plus long abaisse $ω^{*}$ ( $51, 6 rad s^{- 1}$ ) et la coupure bobine pleine tombe à $11, 7 < 15 rad s^{- 1}$ : non tenu. Aucun réglage fixe ne tient les deux exigences : c'est un écart irréductible pour un correcteur à paramètres constants.

4) Le gain programmé. Avec $K_{p} = J (R) ω^{*}$ , la coupure reste au sommet de la bosse quel que soit $R$ : $M_{φ} = 61, 9^{\circ}$ et $ω_{c} = 62, 5 rad s^{- 1}$ à tout diamètre, les deux exigences sont tenues. Le rayon s'obtient sans capteur de plus : le film défile à $V = R Ω$ . La robustesse est reportée sur l'estimation de $J$ : la courbe $a = 16$ reste au-dessus de $4 5^{\circ}$ pour une inertie réelle entre environ $0, 22$ et $4, 6$ fois l'inertie estimée ; une erreur d'estimation de quelques dizaines de pour cent est sans conséquence.

5) La grosse bobine. Un facteur $111$ sur l'inertie : en réglage fixe, $a = 61$ et $4, 2 rad s^{- 1}$ , une boucle quinze fois trop lente. Le gain programmé est indispensable dès que la plage du paramètre dépasse la largeur de la bosse.

Exigence	réglé à vide	$J^{*}$ , $a = 16$	$J^{*}$ , $a = 23, 5$	gain programmé
$M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ partout	$17, 8^{\circ}$ : non	$40, 5^{\circ}$ : non	$4 5^{\circ}$ : oui	$61, 9^{\circ}$ : oui
$ω_{c} \geq 15$ bobine pleine	$5, 4$ : non	$15, 1$ : oui	$11, 7$ : non	$62, 5$ : oui

Ce que l'exercice installe. La robustesse paramétrique se chiffre : une plage de variation d'un paramètre se compare à la plage où les marges tiennent. Avec deux intégrateurs, cette plage est bornée des deux côtés (la bosse de phase, $sin M_{φ m a x} = \frac{a - 1}{a + 1}$ ), et l'on règle au centre en échelle logarithmique. Quand la plage du paramètre dépasse ce que tolère un réglage fixe, on fait suivre le gain au paramètre estimé : la robustesse porte alors sur l'estimation, bien plus facile à tenir.

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