sciences industrielles (PSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le chariot autonome piloté depuis un serveur : la latence se paie en marge de phase

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · A. Robustesse : les marges face aux incertitudes du modèle · niveau 2

Énoncé

Dans un entrepôt, un chariot autonome suit une trajectoire tracée au sol. Sa boucle de cap compare le cap mesuré $ψ$ au cap de consigne $ψ_{c}$ ; un correcteur proportionnel commande l'angle de braquage, et le modèle de la boucle ouverte, sans retard, est $FTBO (p) = \frac{K}{p ( 1 + 0 , 1 p )},$ où $K$ (en $s^{- 1}$ ) réunit le gain du correcteur et le rapport de la vitesse à l'empattement. L'exploitant voudrait calculer le correcteur sur un serveur central relié au chariot par radio : la mesure monte au serveur, la commande redescend, avec une latence totale $θ$ que l'on modélise par un retard pur dans la boucle. Latences mesurées : liaison 5G industrielle, $θ \leq 10 ms$ ; Wi-Fi de l'entrepôt, $θ$ jusqu'à $80 ms$ aux heures chargées.

Cahier des charges : en virage ( $1, 5 m s^{- 1}$ sur un rayon de $3 m$ ), écart de traînage de cap $\leq 0, 05 rad$ ; $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ sans latence ; $M_{φ} \geq 3 0^{\circ}$ sous la latence maximale du réseau retenu.

Donnée (simulation) : avec $K = 14, 1 s^{- 1}$ et $θ = 80 ms$ , le cap répond à un échelon par une oscillation d'amplitude croissante.

1) Montrer que l'exigence de traînage impose $K \geq 10 s^{- 1}$ . Un retard pur modifie-t-il le gain de la FTBO ? sa phase ? En déduire que la boucle reste stable tant que $θ < τ_{R} = M_{φ} / ω_{c}$ ( $M_{φ}$ en radians), et dire pourquoi ce résultat suppose une seule pulsation de coupure.

2) Régler $K$ pour $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ sans latence ; calculer $ω_{c}$ et $τ_{R}$ . Conclure pour la 5G et pour le Wi-Fi.

3) Sous $80 ms$ , quelle pulsation de coupure garde $3 0^{\circ}$ de marge ? Écrire l'équation et la résoudre par dichotomie sur $[1; 10] rad s^{- 1}$ . En déduire $K$ et le traînage. Au gain minimal $K = 10 s^{- 1}$ , que reste-t-il de marge ? Où faut-il fermer la boucle de cap ?

4) Deux réglages d'un autre axe : A, $ω_{c} = 50 rad s^{- 1}$ et $M_{φ} = 6 0^{\circ}$ ; B, $ω_{c} = 10 rad s^{- 1}$ et $M_{φ} = 4 0^{\circ}$ . Lequel supporte le plus de latence ?

5) Cas limite : un rover lunaire, de même modèle, est téléopéré depuis la Terre ; l'aller et retour d'un signal dure $2, 56 s$ . Quelle pulsation de coupure garde $3 0^{\circ}$ de marge ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Le retard ne touche que la phase : on le lit comme une consommation de marge de phase, proportionnelle à la pulsation de coupure. On compare ensuite la marge disponible à la latence, puis l'on cherche s'il existe un gain qui tienne à la fois la précision et la marge.

1) Précision, et effet du retard. En virage, le cap de consigne tourne à $ψ ˙_{c} = \frac{v}{R} = \frac{1 , 5}{3} = 0, 5 rad s^{- 1}$ : c'est une rampe. La FTBO est de classe 1 avec $K_{v} = K$ , donc l'écart de traînage vaut $\frac{0 , 5}{K} \leq 0, 05$ , soit $K \geq 10 s^{- 1}$ . Le retard multiplie la FTBO par $e^{- j ω θ}$ , de module $1$ : la courbe de gain est inchangée, donc $ω_{c}$ aussi. Il retranche $ω θ$ à la phase ; à la coupure, la marge devient $M_{φ} (θ) = M_{φ} - ω_{c} θ .$ La boucle reste stable tant que $M_{φ} (θ) > 0$ , soit $θ < τ_{R} = \frac{M _{φ}}{ω _{c}}$ ; homogénéité : des radians divisés par des radians par seconde donnent des secondes. Le raisonnement suppose que le gain ne coupe $0 dB$ qu'une fois ; c'est le cas ici (gain strictement décroissant). Avec plusieurs coupures, il faudrait calculer $M_{φ} / ω_{c}$ à chacune et retenir la plus petite valeur.

2) Le réglage nominal. La phase vaut $- 9 0^{\circ} - arctan (0, 1 ω)$ ; $M_{φ} = 4 5^{\circ}$ impose $arctan (0, 1 ω_{c}) = 4 5^{\circ}$ , soit $ω_{c} = 10 rad s^{- 1}$ et $K = ω_{c} 1 + (0, 1 ω_{c})^{2} = 102 = 14, 1 s^{- 1}$ ( $\geq 10$ : traînage $0, 035 rad$ ). La marge de retard vaut $τ_{R} = \frac{π /4}{10} = 78, 5 ms .$ En 5G, $ω_{c} θ = 10 \times 0, 010 = 0, 10 rad = 5, 7^{\circ}$ : il reste $39, 3^{\circ} \geq 3 0^{\circ}$ , l'exigence est tenue. En Wi-Fi, $ω_{c} θ = 0, 80 rad = 45, 8^{\circ}$ : il reste $- 0, 8^{\circ}$ , la boucle est instable ( $80 ms > 78, 5 ms$ ), ce que montre la simulation.

3) Y a-t-il un gain qui convienne en Wi-Fi ? Il faut $9 0^{\circ} - arctan (0, 1 ω_{c}) - ω_{c} θ = 3 0^{\circ}$ , soit, en radians, $g (ω) = arctan (0, 1 ω) + 0, 08 ω - \frac{π}{3} = 0.$ $g$ est croissante, $g (1) = - 0, 87 < 0$ et $g (10) = + 0, 54 > 0$ . Dichotomie :

itération	intervalle	milieu $m$	$g (m)$
1	$[1; 10]$	$5, 5$	$- 0, 104$
2	$[5, 5; 10]$	$7, 75$	$+ 0, 232$
3	$[5, 5; 7, 75]$	$6, 63$	$+ 0, 068$
4	$[5, 5; 6, 63]$	$6, 06$	$- 0, 017$
5	$[6, 06; 6, 63]$	$6, 34$	$+ 0, 026$
6	$[6, 06; 6, 34]$	$6, 20$	$+ 0, 004$

En poursuivant, $ω_{c} = 6, 18 rad s^{- 1}$ , d'où $K = 6, 18 1 + 0, 61 8^{2} = 7, 26 s^{- 1}$ et un traînage de $\frac{0 , 5}{7 , 26} = 0, 069 rad > 0, 05$ : non tenu. Inversement, au gain minimal $K = 10 s^{- 1}$ : $ω_{c} = 7, 86 rad s^{- 1}$ , $M_{φ} = 51, 8^{\circ}$ sans retard, et sous $80 ms$ il ne reste que $51, 8^{\circ} - 0, 08 \times 7, 86 \times 57, 3^{\circ} = 15, 8^{\circ} < 3 0^{\circ}$ . Aucun gain ne tient les deux exigences en Wi-Fi : l'écart est irréductible par le réglage. La boucle de cap doit se fermer à bord ; le serveur n'envoie que la trajectoire, c'est-à-dire la consigne. Une consigne en retard décale la trajectoire dans le temps, elle ne déstabilise rien : le retard n'est dangereux que dans la boucle.

Exigence	5G, $K = 14, 1$	Wi-Fi, $K = 14, 1$	Wi-Fi, $K = 7, 26$	Wi-Fi, $K = 10$
traînage (rad)	$0, 035$ : oui	$0, 035$ : oui	$0, 069$ : non	$0, 05$ : oui
$M_{φ} \geq 3 0^{\circ}$	$39, 3^{\circ}$ : oui	instable	$3 0^{\circ}$ : oui	$15, 8^{\circ}$ : non

4) Le piège. A : $τ_{R} = \frac{π /3}{50} = 20, 9 ms$ ; B : $τ_{R} = \frac{0 , 698}{10} = 69, 8 ms$ . La boucle la mieux amortie (A) est la moins tolérante au retard : ce qui compte est le rapport de la marge à la pulsation de coupure, et une boucle rapide consomme vite sa marge.

5) Le rover lunaire. Même équation avec $θ = 2, 56 s$ : $arctan (0, 1 ω) + 2, 56 ω = π /3$ donne $ω_{c} = 0, 394 rad s^{- 1}$ , soit $K \approx 0, 39 s^{- 1}$ : une réponse en quelques fois $1/ ω_{c}$ , près de $8 s$ , et un traînage en virage de $\frac{0 , 5}{0 , 39} = 1, 27 rad$ (plus de $7 0^{\circ}$ ). Fermer la boucle à travers l'espace est impossible : le rover reçoit des points de passage et asservit lui-même sa trajectoire.

Ce que l'exercice installe. La marge de retard $τ_{R} = M_{φ} / ω_{c}$ ( $M_{φ}$ en radians) : un retard ne change pas le gain, il consomme une phase proportionnelle à $ω_{c}$ . Elle se compare à une latence mesurée, comme toute exigence. Une boucle rapide est peu tolérante, même bien amortie. Et quand aucun gain ne tient précision et marge, on change l'architecture : la boucle se ferme là où le retard est petit, et seule la consigne voyage.

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