sciences industrielles (PSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le mitigeur à deux robinets : deux commandes, deux exigences, une matrice

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · C. Domaine de validité du modèle linéaire : point de fonctionnement et saturation · niveau 2

Énoncé

Une douche est alimentée en eau chaude ( $T_{c} = 60^{\circ} C$ ) et froide ( $T_{f} = 15^{\circ} C$ ) par deux robinets de débits $Q_{c}$ et $Q_{f}$ . Le débit et la température du mélange valent $Q = Q_{c} + Q_{f}, T = \frac{Q _{c} T _{c} + Q _{f} T _{f}}{Q _{c} + Q _{f}} .$ Point de fonctionnement : $Q_{0} = 10 L mi n^{- 1}$ à $T_{0} = 38^{\circ} C$ . Cahier des charges : réchauffer de $2^{\circ} C$ sans changer le débit à plus de $\pm 5 %$ .

1) Linéariser $Q$ et $T$ autour du point de fonctionnement : écrire $(δ Q δ T) = G_{0} (δ Q_{c} δ Q_{f})$ et calculer $G_{0}$ .

2) Geste naïf : on n'ouvre que l'eau chaude. Quel $δ Q_{c}$ pour $+ 2^{\circ} C$ selon le modèle linéaire ? Le débit reste-t-il dans la tolérance ? Que donne le modèle exact ?

3) Résoudre le système linéaire qui donne $+ 2^{\circ} C$ à débit constant. Que fait la matrice $G_{0}^{- 1}$ placée en amont des robinets ?

4) On automatise par deux boucles indépendantes : la température commande le robinet froid, le débit commande le robinet chaud. Quel gain la boucle de température voit-elle quand la boucle de débit est ouverte ? fermée (et supposée parfaite) ? Conséquence pour sa marge de gain.

5) À $5 L mi n^{- 1}$ , toujours à $38^{\circ} C$ , que deviennent les gains en température ? Le mitigeur mono-commande, lui, règle le débit $Q$ et la proportion d'eau chaude $x = Q_{c} / Q$ : exprimer $T$ en fonction de $x$ et conclure.

Corrigé

La stratégie. Deux sorties dépendent de deux entrées : la linéarisation donne une matrice de dérivées partielles, et la question « quelles commandes pour quelles sorties ? » devient un système linéaire $A \cdot X = B$ .

1) La matrice des gains. Au point de fonctionnement, $Q_{c} = Q_{0} \frac{T _{0} - T _{f}}{T _{c} - T _{f}} = 10 \times \frac{23}{45} = 5, 11 L mi n^{- 1}$ et $Q_{f} = 4, 89 L mi n^{- 1}$ . $\frac{\partial Q}{\partial Q _{c}} = \frac{\partial Q}{\partial Q _{f}} = 1$ , et $\frac{\partial T}{\partial Q _{c}} = \frac{T _{c} - T _{0}}{Q _{0}} = 2, 2, \frac{\partial T}{\partial Q _{f}} = \frac{T _{f} - T _{0}}{Q _{0}} = - 2, 3 (^{\circ} C par L mi n^{- 1}),$ d'où $G_{0} = (1 2, 2 1 - 2, 3)$ . Les gains en température dépendent de $Q_{0}$ et $T_{0}$ : du point de fonctionnement.

2) Le geste naïf. $δ T = 2, 2 δ Q_{c} = 2$ donne $δ Q_{c} = 0, 91 L mi n^{- 1}$ , et le débit augmente de $9, 1 %$ : non tenu. Le modèle exact donne $T = \frac{6 , 02 \times 60 + 4 , 89 \times 15}{10 , 91} = 39, 8^{\circ} C$ , soit $+ 1, 83^{\circ} C$ seulement : l'écart de linéarisation vaut $8 %$ pour une variation de $18 %$ du débit chaud.

3) Le système linéaire. $δ Q_{c} + δ Q_{f} = 0$ et $2, 2 δ Q_{c} - 2, 3 δ Q_{f} = 2$ donnent $4, 5 δ Q_{c} = 2$ : $δ Q_{c} = - δ Q_{f} = 0, 444 L mi n^{- 1},$ débit inchangé, $+ 2^{\circ} C$ (le modèle exact donne $40, 0^{\circ} C$ ) : tenu. Sur un calculateur, on résout ce système par une bibliothèque (en Python, numpy.linalg.solve). Placée en amont des robinets, $G_{0}^{- 1}$ transforme des demandes $(δ Q, δ T)$ en ouvertures : c'est un découpleur statique, valable au point de fonctionnement et en régime permanent.

4) Le couplage des deux boucles. Boucle de débit ouverte ( $δ Q_{c} = 0$ ) : $δ T = - 2, 3 δ Q_{f}$ . Boucle de débit fermée et parfaite, elle impose $δ Q = 0$ , donc $δ Q_{c} = - δ Q_{f}$ , et $δ T = (- 2, 3 - 2, 2) δ Q_{f} = - 4, 5 δ Q_{f}$ . Le gain vu par la boucle de température est multiplié par $\frac{4 , 5}{2 , 3} = 1, 96$ , soit $+ 5, 8 dB$ : une marge de gain de $6 dB$ , réglée boucle seule, est presque entièrement consommée quand l'autre boucle se ferme. Le couplage agit comme une incertitude de gain.

5) Point de fonctionnement, et choix des variables. À $Q_{0} = 5 L mi n^{- 1}$ , $\frac{\partial T}{\partial Q _{c}} = \frac{22}{5} = 4, 4$ et $\frac{\partial T}{\partial Q _{f}} = - 4, 6$ : les gains doublent, la boucle de température, réglée à $10 L mi n^{- 1}$ , perd encore $6 dB$ de marge à petit débit. Le mitigeur mono-commande, lui, écrit $T = x T_{c} + (1 - x) T_{f}$ : la température ne dépend que de $x$ , le débit que de la course de la manette. Le découplage est exact et indépendant du point de fonctionnement : il vient du choix des variables de commande, pas d'un calcul.

Ce que l'exercice installe. La linéarisation d'un modèle à plusieurs entrées : une matrice de dérivées partielles, qui dépend du point de fonctionnement. Les commandes qui réalisent des variations de sorties données s'obtiennent par un système linéaire $A \cdot X = B$ , résolu par une bibliothèque. Le couplage de deux boucles se lit comme une variation du gain vu par chacune ; on la compare à la marge de gain. Et le meilleur découplage est souvent un bon choix des grandeurs commandées.

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