Le robot de prélèvement : la saturation de vitesse fixe le temps de réponse, pas le gain

La stratégie. On règle sur le modèle linéaire, puis on cherche son domaine de validité : l'amplitude à partir de laquelle la commande demandée dépasse ce que l'actionneur fournit. Au-delà, la boucle est ouverte et c'est une cinématique simple qui fixe le temps.

1) Le modèle linéaire. $\mathrm{FTBO}(p)=\frac{K_p}{p(1+{\tau }_{v}p)}$ (classe 1 : écart statique nul) et $$\frac{X}{X_c}=\frac{1}{1+\frac{p}{K_p}+\frac{{\tau }_v}{K_p}{p}^2},{\omega }_0=\sqrt{\frac{K_p}{{\tau }_v}},\xi =\frac{1}{2\sqrt{K_p{\tau }_v}}.$$ Pas de dépassement : $\xi \ge 1$, soit $K_p\le \frac{1}{4{\tau }_v}=12,5{\mathrm{s}}^{-1}$. Alors ${\omega }_0=25\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $t_{5\%}=\frac{4,75}{25}=0,19\mathrm{s}\le 0,25\mathrm{s}$ : le modèle linéaire conclut que tout est tenu. Son temps de réponse ne dépend pas de $X_0$ : un système linéaire répond à un échelon double par une réponse double, dans le même temps.

2) Le domaine linéaire. À $t=0^{+}$, l'écart vaut $X_0$ et la consigne de vitesse calculée $K_p{X}_0$ ; pour $0,30\mathrm{m}$, $3,75\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, près de quatre fois $v_{\max }$. Le modèle linéaire n'est valable que si $K_p{X}_0\le v_{\max }$, soit $$X_0\le \frac{v_{\max }}{K_p}=\frac{1}{12,5}=80\mathrm{mm}.$$ La course nominale est près de quatre fois au-delà.

3) Le grand déplacement. Tant que $K_p(x_c-x)>v_{\max }$, la consigne de vitesse reste bloquée à $v_{\max }$ : le chariot accélère en quelques ${\tau }_v$, puis roule à $1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Pendant cette phase, la boucle est ouverte : la commande ne dépend plus de l'écart, le gain et les marges n'agissent pas. La boucle ne reprend la main qu'à $80\mathrm{mm}$ de la cible, et termine en régime linéaire. Borne inférieure : pour entrer dans la bande de $5\%$, le chariot doit parcourir $0,95X_0=0,285\mathrm{m}$ à une vitesse au plus égale à $v_{\max }$, donc $$t_{5\%}\ge \frac{0,285}{1}=0,285\mathrm{s}>0,25\mathrm{s},$$ quel que soit $K_p$ : aucun réglage du correcteur ne tient l'exigence.

4) La simulation. Avec le pas $\Delta t$ : $$v_{c,k}=\min \left(v_{\max },\max \left(-v_{\max },K_p(x_c-x_k)\right)\right),$$ $$v_{k+1}=v_k+\frac{\Delta t}{{\tau }_v}\left(v_{c,k}-v_k\right),x_{k+1}=x_k+\Delta t{v}_k,$$ avec $\Delta t$ petit devant ${\tau }_v=20\mathrm{ms}$ (un dixième de milliseconde, par exemple). Lecture du tableau : jusqu'à $80\mathrm{mm}$, le temps de réponse est celui du modèle linéaire ($0,190\mathrm{s}$) ; au-delà, il croît à peu près comme $X_0/v_{\max }$ ($0,339\mathrm{s}$ à $0,30\mathrm{m}$, au-dessus de la borne de $0,285\mathrm{s}$). Doubler $K_p$ divise le temps par $2,3$ à petite amplitude, mais ne gagne que $10\%$ à $0,30\mathrm{m}$ ($0,308\mathrm{s}$, toujours non tenu) et introduit un dépassement interdit. Le temps de réponse d'un système qui sature dépend de l'amplitude : une exigence de rapidité doit dire pour quelle amplitude elle vaut.

5) Ce qu'il faut modifier. L'exigence porte sur l'actionneur : il faut $v_{\max }\ge 1,62\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (moteur plus rapide, ou poulie de plus grand diamètre si le couple le permet). Avec $1,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $t_{5\%}=0,244\mathrm{s}$ et le domaine linéaire s'étend à $136\mathrm{mm}$. Mais l'accélération qu'exige la boucle de vitesse au départ, $v_{\max }/{\tau }_v=85\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, dépasse les $60$ disponibles : une deuxième saturation apparaît, que la simulation a prise en compte. Une saturation en cache souvent une autre.

Ce que l'exercice installe. Le domaine de validité d'un modèle linéaire en présence d'une saturation se calcule : la commande demandée au premier instant, $K_p{X}_0$, se compare à la limite. Au-delà, la boucle est ouverte et une cinématique élémentaire borne le temps de réponse, qui dépend alors de l'amplitude. Une exigence de rapidité sur un grand mouvement se reporte sur l'actionneur, pas sur le correcteur ; et la simulation par Euler, avec les saturations écrites dans la récurrence, donne ce que la fonction de transfert ne peut pas donner.