Mettre une équation d'ordre 3 sous forme de Cauchy

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · niveau 2

Énoncé

Un procédé est décrit par $y \dots + 6 y ¨ + 11 y ˙ + 6 y = 2 u$ .

Mettre ce modèle sous forme de Cauchy avec $X = (y y ˙ y ¨)^{T}$ ; donner $A$ et $B$ .
Écrire la récurrence d'Euler explicite.
Calculer la fonction de transfert $\frac{Y ( p )}{U ( p )}$ , ses pôles et son gain statique ; vérifier que son dénominateur est $det (p I - A)$ .
Choisir le pas et la durée d'une simulation de la réponse indicielle.

Corrigé

1. Forme de Cauchy. $x ˙_{1} = x_{2}$ , $x ˙_{2} = x_{3}$ , $x ˙_{3} = - 6 x_{1} - 11 x_{2} - 6 x_{3} + 2 u$ , d'où

$A = 00 - 6 10 - 11 01 - 6, B = 002, y = (100) X .$

2. Euler. $X_{k + 1} = X_{k} + Δ t (A X_{k} + B u_{k})$ , soit $x_{1, k + 1} = x_{1, k} + Δ t x_{2, k}$ , $x_{2, k + 1} = x_{2, k} + Δ t x_{3, k}$ , $x_{3, k + 1} = x_{3, k} + Δ t (- 6 x_{1, k} - 11 x_{2, k} - 6 x_{3, k} + 2 u_{k})$ .

3. Fonction de transfert. $\frac{Y}{U} = \frac{2}{p ^{3} + 6 p ^{2} + 11 p + 6}$ . $p = - 1$ est racine évidente ( $- 1 + 6 - 11 + 6 = 0$ ) : $p^{3} + 6 p^{2} + 11 p + 6 = (p + 1) (p^{2} + 5 p + 6) = (p + 1) (p + 2) (p + 3)$ . Pôles $- 1$ , $- 2$ , $- 3$ ; gain statique $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . En développant $det (p I - A)$ par la dernière ligne, on retrouve $p^{3} + 6 p^{2} + 11 p + 6$ : aucune simplification, les pôles sont toutes les racines.

4. Pas et durée. Le pôle le plus rapide, $- 3$ , a pour constante de temps $\frac{1}{3} s$ : $Δ t \approx 0, 03 s$ ou moins. Le plus lent, $- 1$ , a pour constante de temps $1 s$ : une durée de $5 s$ montre le régime permanent ( $y \to \frac{1}{3}$ pour $u = 1$ ). Soit environ $170$ pas ; on valide en refaisant le calcul avec $Δ t = 0, 015 s$ .