sciences industrielles (PSI) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Problème : la servocommande hydraulique de gouverne, la marge de gain se dimensionne à mi-course

Robustesse et limites des modèles des systèmes asservis · C. Domaine de validité du modèle linéaire : point de fonctionnement et saturation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Sur un avion de ligne, chaque aileron est braqué par une servocommande hydraulique : une servovalve, commandée par le calculateur de vol, distribue l'huile sous pression aux deux chambres d'un vérin double effet à double tige, dont la tige entraîne l'aileron par un guignol. La position $x$ de la tige est mesurée par un capteur de déplacement et asservie par un correcteur proportionnel.

Données : section utile du piston $S = 30 c m^{2}$ (identique des deux côtés) ; course $c = 120 mm$ , $x$ compté depuis la butée gauche ; volume mort de chaque chambre (canalisations comprises) $V_{0} = 0, 1 L$ , d'où $V_{1} = V_{0} + S x$ et $V_{2} = V_{0} + S (c - x)$ ; moment d'inertie de l'aileron autour de son axe $J = 45 kg m^{2}$ , guignol de bras $r = 0, 15 m$ (on assimile $x$ à $r α$ , $α$ angle de braquage) ; huile hydraulique de module de compressibilité $B = 1, 2 GPa$ dégazée, $0, 7 GPa$ quand de l'air s'y est mêlé (huile émulsionnée). Compressibilité : une chambre de volume $V$ fermée, dont le volume varie de $δ V$ , voit sa pression varier de $δ P = - B \frac{δ V}{V}$ .

Modèle (donné) : la servovalve, linéarisée autour de sa position centrée, délivre un débit proportionnel à sa commande ; la boucle ouverte s'écrit $FTBO (p) = \frac{K _{v}}{p ( 1 + \frac{2 ξ _{h}}{ω _{h}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{h}^{2}} )}, ω_{h} = \frac{k _{h}}{m},$ où $K_{v}$ (en $s^{- 1}$ ) est le gain de vitesse, réglable par le correcteur, $k_{h}$ la raideur des deux colonnes d'huile, $m$ la masse équivalente ramenée sur la tige et $ξ_{h} = 0, 2$ l'amortissement (fuites et frottements, donné, indépendant de $x$ ).

Cahier des charges : écart de traînage $\leq 1, 5 mm$ pour une consigne en rampe de $50 mm s^{- 1}$ ; marge de gain $\geq 6 dB$ sur toute la course, huile émulsionnée comprise ; marge de phase $\geq 4 5^{\circ}$ .

1) Établir la masse équivalente $m$ . Le piston étant écarté de $δ x$ depuis la position $x$ , chambres fermées (servovalve centrée), établir la force de rappel et la raideur $k_{h} = B S^{2} (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}})$ . Montrer que $ω_{h}$ est minimale à mi-course ; calculer $ω_{h}$ à mi-course et en bout de course.

2) Quelle borne l'exigence de traînage impose-t-elle à $K_{v}$ ?

3) Montrer que la phase de la FTBO vaut exactement $- 18 0^{\circ}$ en $ω_{h}$ , et en déduire $M_{G} = 20 lo g \frac{2 ξ _{h} ω _{h}}{K _{v}}$ . Écrire la condition de stabilité et la condition $M_{G} \geq 6 dB$ . Évaluer la marge de phase : que vaut-elle comme critère ici ?

4) Un premier réglage a été fait tige rentrée, en bout de course, pour exactement $6 dB$ . Calculer $K_{v}$ et la marge de gain à mi-course. Proposer le réglage correct et vérifier l'exigence de traînage.

5) Avec ce réglage, que devient la marge de gain avec l'huile émulsionnée ? Peut-on régler $K_{v}$ pour tenir les deux exigences ? Un correcteur à avance de phase ou proportionnel intégral aiderait-il ?

6) Quelles modifications du système permettent de tenir tout le cahier des charges ? Dresser le bilan exigence par exigence, puis énoncer le résultat.

Corrigé

La stratégie. Le modèle a un intégrateur (le vérin intègre le débit) et une résonance hydraulique (la masse sur deux ressorts d'huile). La précision donne une borne inférieure sur $K_{v}$ , la résonance une borne supérieure, qui dépend de la position et de l'huile : on cherche le point de fonctionnement le plus défavorable avant de régler.

1) Masse équivalente et raideur hydraulique. Énergie cinétique de l'aileron : $\frac{1}{2} J α ˙^{2} = \frac{1}{2} \frac{J}{r ^{2}} x ˙^{2}$ , d'où $m = \frac{J}{r ^{2}} = \frac{45}{0 , 1 5 ^{2}} = 2000 kg$ (l'huile et la tige sont négligées). Le piston avance de $δ x$ : $V_{1}$ croît de $S δ x$ et $V_{2}$ décroît d'autant, donc $δ P_{1} = - \frac{B S δ x}{V _{1}}, δ P_{2} = + \frac{B S δ x}{V _{2}}, δ F = S (δ P_{1} - δ P_{2}) = - B S^{2} (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}}) δ x .$ La force s'oppose au déplacement : deux ressorts en parallèle, de raideur $k_{h} = B S^{2} (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}})$ . Avec $f (x) = \frac{1}{V _{0} + S x} + \frac{1}{V _{0} + S ( c - x )}$ : $f^{'} (x) = - \frac{S}{V _{1}^{2}} + \frac{S}{V _{2}^{2}}$ s'annule pour $V_{1} = V_{2}$ , c'est-à-dire $x = c /2$ , et $f$ est convexe (somme de deux fonctions convexes) : la raideur, donc $ω_{h}$ , est minimale à mi-course. Les colonnes d'huile y sont toutes deux longues ; en bout de course, la chambre presque vide est très raide. À mi-course, $V_{1} = V_{2} = 0, 1 + 0, 18 = 0, 28 L$ : $k_{h} = 1, 2 \times 1 0^{9} \times (3 \times 1 0^{- 3})^{2} \times \frac{2}{2 , 8 \times 1 0 ^{- 4}} = 7, 71 \times 1 0^{7} N m^{- 1},$ $ω_{h} = \frac{7 , 71 \times 1 0 ^{7}}{2 000} = 196 rad s^{- 1};$ en bout de course ( $V_{1} = 0, 1 L$ , $V_{2} = 0, 46 L$ ), $ω_{h} = 256 rad s^{- 1}$ .

2) La précision. La FTBO est de classe 1 : traînage $= \frac{V}{K _{v}} \leq 1, 5 mm$ pour $V = 50 mm s^{- 1}$ , d'où $K_{v} \geq \frac{50}{1 , 5} = 33, 3 s^{- 1}$ .

3) Les marges. En $ω = ω_{h}$ , $1 + 2 ξ_{h} j - 1 = 2 ξ_{h} j$ , donc $FTBO (j ω_{h}) = \frac{K _{v}}{j ω _{h} \times 2 ξ _{h} j} = - \frac{K _{v}}{2 ξ _{h} ω _{h}} :$ réel négatif, la phase vaut exactement $- 18 0^{\circ}$ et $ω_{180} = ω_{h}$ . D'où $M_{G} = 20 lo g \frac{2 ξ _{h} ω _{h}}{K _{v}}$ . Stabilité : $K_{v} < 2 ξ_{h} ω_{h}$ . Marge de $6 dB$ : $\frac{2 ξ _{h} ω _{h}}{K _{v}} \geq 1 0^{6/20} = 2, 0$ , soit $K_{v} \leq ξ_{h} ω_{h}$ . La marge de phase : comme $K_{v} ≪ ω_{h}$ , la coupure est à $ω_{c} \approx K_{v}$ , où le second ordre ne retarde que d'environ $\frac{2 ξ _{h} K _{v}}{ω _{h}} rad$ ; pour $K_{v} = 39, 3 s^{- 1}$ , $M_{φ} \approx 9 0^{\circ} - 4, 6^{\circ} \approx 8 5^{\circ}$ (exactement $85, 0^{\circ}$ ). Toujours largement tenue, elle ne dit rien du danger : l'instabilité vient du pic de résonance, $\frac{1}{2 ξ _{h}} = 2, 5$ ( $+ 8 dB$ ), qui remonte le gain là où la phase atteint $- 18 0^{\circ}$ . C'est la marge de gain qui dimensionne.

4) Le point de fonctionnement le plus défavorable. Réglé en bout de course : $K_{v} = 0, 2 \times 256 = 51, 3 s^{- 1}$ . À mi-course, $M_{G} = 20 lo g \frac{2 \times 0 , 2 \times 196}{51 , 3} = 3, 7 dB < 6$ : non tenu, la marge a été mesurée au mauvais endroit. Le réglage se fait au point le plus défavorable : $K_{v} = ξ_{h} ω_{h} (c /2) = 0, 2 \times 196 = 39, 3 s^{- 1}$ , d'où $6, 0 dB$ à mi-course, $8, 3 dB$ en bout de course, et un traînage de $\frac{50}{39 , 3} = 1, 27 mm \leq 1, 5$ : tenu avec l'huile dégazée.

5) L'huile émulsionnée. $ω_{h}$ varie comme $B$ : à mi-course, $196 0, 7/1, 2 = 150 rad s^{- 1}$ . Avec $K_{v} = 39, 3 s^{- 1}$ , $M_{G} = 20 lo g \frac{0 , 4 \times 150}{39 , 3} = 3, 7 dB$ : non tenu. Pour $6 dB$ , il faut $K_{v} \leq 0, 2 \times 150 = 30 s^{- 1}$ , et le traînage passe à $1, 67 mm > 1, 5$ : non tenu. Les deux bornes $33, 3 \leq K_{v} \leq 30$ sont incompatibles : aucun réglage du gain ne convient. Un correcteur à avance de phase n'aiderait pas : la phase n'est pas en cause (la marge de phase est de $8 5^{\circ}$ ), et la cellule multiplie le gain en hautes fréquences, donc diminue la marge de gain à $ω_{h}$ . Un correcteur proportionnel intégral non plus : la boucle est déjà de classe 1, et l'intégrateur ajouterait du retard de phase sans rien changer au gain à $ω_{h}$ . L'écart est irréductible par la correction.

6) Modifier le système, et le bilan. Il faut $K_{v} = 33, 3 s^{- 1}$ compatible avec $K_{v} \leq ξ_{h} ω_{h}$ au pire point. Deux voies : augmenter l'amortissement, $ξ_{h} \geq \frac{33 , 3}{150} = 0, 222$ , par une fuite calibrée entre les deux chambres (au prix d'une raideur statique moindre sous la charge aérodynamique) ; ou garantir la raideur de l'huile, $ω_{h} \geq \frac{33 , 3}{0 , 2} = 167 rad s^{- 1}$ à mi-course, soit $B \geq 1, 2 \times (\frac{167}{196})^{2} = 0, 86 GPa$ , par un réservoir pressurisé et un dégazage de l'huile (maintenance).

Les trois exigences sont, dans l'ordre, traînage $\leq 1, 5 mm$ , $M_{G} \geq 6 dB$ au pire point (mi-course), $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ :

$K_{v}$ ( $s^{- 1}$ )	huile	traînage (mm)	$M_{G}$ (dB)	$M_{φ}$
$51, 3$ (réglé en bout)	dégazée	$0, 98$ : oui	$3, 7$ : non	$8 3^{\circ}$ : oui
$39, 3$ (à mi-course)	dégazée	$1, 27$ : oui	$6, 0$ : oui	$8 5^{\circ}$ : oui
$39, 3$	émulsionnée	$1, 27$ : oui	$3, 7$ : non	$8 3^{\circ}$ : oui
$30$	émulsionnée	$1, 67$ : non	$6, 0$ : oui	$8 5^{\circ}$ : oui
$33, 3$ , $ξ_{h} = 0, 222$	émulsionnée	$1, 50$ : oui	$6, 0$ : oui	$8 4^{\circ}$ : oui

Le résultat obtenu — la marge de gain d'une servocommande hydraulique. Pour un vérin commandé en débit, de gain de vitesse $K_{v}$ et de résonance hydraulique $(ω_{h}, ξ_{h})$ , la phase de la boucle ouverte vaut $- 18 0^{\circ}$ exactement en $ω_{h}$ ; la stabilité impose $K_{v} < 2 ξ_{h} ω_{h}$ , et une marge de gain de $6 dB$ impose $K_{v} \leq ξ_{h} ω_{h}$ , où $ω_{h} = k_{h} / m$ doit être évaluée au point de fonctionnement le plus défavorable : à mi-course, où la raideur $k_{h} = B S^{2} (\frac{1}{V _{1}} + \frac{1}{V _{2}})$ est minimale, et avec l'huile la plus compressible. Pour l'aileron : $ω_{h} = 196 rad s^{- 1}$ ( $150$ huile émulsionnée), $K_{v} = 39, 3 s^{- 1}$ au plus avec l'huile dégazée ; tenir le traînage avec une huile émulsionnée exige $ξ_{h} \geq 0, 222$ ou $B \geq 0, 86 GPa$ .

Ce que le problème installe. Le point de fonctionnement le plus défavorable se cherche, il n'est pas toujours en bout de plage (ici, au milieu de la course) ; une marge se vérifie là et sur toute la plage des paramètres (l'huile). La marge de gain d'un système résonant se lit à la résonance, et la marge de phase peut y être confortable sans rien garantir. Quand précision et stabilité donnent des bornes incompatibles et que la phase n'est pas en cause, aucun correcteur de la liste ne sauve le réglage : on modifie le système (amortissement, raideur), en chiffrant la modification.

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