La cuve tampon télégérée : quand la période d'échantillonnage rattrape la constante de temps

La stratégie. Le procédé est un intégrateur, et la commande est constante sur chaque période : intégrer une constante est exact. On obtient donc la récurrence exacte de la boucle, sans aucune transformée, et l'on peut juger le modèle continu sur pièces.

1) Le modèle continu. La conservation du volume s'écrit $S\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=q_e-q_s$. Avec $q_e=K(h_c-h)$ et $q_s=0$ : $\frac{S}{K}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}+h=h_c$, premier ordre de gain $1$ et de constante de temps $\tau =S/K$. Pour $\tau =20\mathrm{s}$, $K=1,5/20=0,075{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ ($75\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$ par mètre d'écart) ; $t_{5\%}=3\tau =60\mathrm{s}$ ; au début de la marche, $q_e=0,075\times 0,5=37,5\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$, dans les possibilités de la pompe. En continu, la FTBO $\frac{1}{\tau p}$ a une marge de phase de $90^{\circ }$ quel que soit le gain : jamais de dépassement, jamais d'instabilité.

2) La récurrence. Sur $[k{T}_e,(k+1)T_e]$, $q_e=q_{e,k}$ est constant, donc $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}$ aussi : $h$ varie linéairement et $$h_{k+1}=h_k+\frac{T_e}{S}(q_{e,k}-q_s).$$ C'est la forme du schéma d'Euler explicite, mais ici sans erreur : la dérivée est constante sur la période. Avec $q_{e,k}=K{\epsilon }_k$, $q_s=0$ et ${\epsilon }_k=h_c-h_k$ : $${\epsilon }_{k+1}={\epsilon }_k-\frac{T_{e}K}{S}{\epsilon }_k=\left(1-\frac{T_e}{\tau }\right){\epsilon }_k,{\epsilon }_k={\left(1-\frac{T_e}{\tau }\right)}^k{\epsilon }_0.$$

3) Les cinq périodes. La suite est géométrique de raison $r=1-T_e/\tau$, avec ${\epsilon }_0=0,5\mathrm{m}$ ; le temps de réponse est le premier instant $k{T}_e$ à partir duquel $|{\epsilon }_k|\le 0,025\mathrm{m}$. Entre deux échantillons, $h$ est affine : ses extrêmes sont aux échantillons.

À $T_e=1\mathrm{s}$, on retrouve le continu ($0,95^k\approx {\mathrm{e}}^{-k/20}$). À $20\mathrm{s}$, la pompe débite $37,5\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$ pendant une période et remplit exactement le manque : réponse « pile ». À $30\mathrm{s}$, elle débite trop longtemps : le niveau monte à $2,25\mathrm{m}$ avant que la vidange ne s'ouvre ; à $40\mathrm{s}$, la commande alterne entre $+37,5$ et $-37,5\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$ et le niveau entre $1,5$ et $2,5\mathrm{m}$. La boucle échantillonnée est stable si et seulement si $|r|<1$, soit $T_e<2\tau =40\mathrm{s}$, et elle n'oscille pas si $r\ge 0$, soit $T_e\le \tau$.

En pointillé, le débordement. Le modèle continu, en noir, ne prévoit rien de ce qui arrive à $30$ et $40\mathrm{s}$.

4) Le modèle « retard ». $\mathrm{FTBO}(p)=\frac{{\mathrm{e}}^{-T_{e}p/2}}{\tau p}$ : gain $1/(\tau \omega )$, donc ${\omega }_c=1/\tau$ ; phase $-90^{\circ }-\omega T_e/2$. D'où $$M_{\phi }=90^{\circ }-\frac{T_e}{2\tau }(\text{en radians}),$$ soit $88,6^{\circ }$, $75,7^{\circ }$, $61,4^{\circ }$, $47,0^{\circ }$ et $32,7^{\circ }$ pour $T_e=1$, $10$, $20$, $30$, $40\mathrm{s}$. Ce modèle annonce une boucle bien amortie à $30\mathrm{s}$ ($47^{\circ }$), là où la récurrence donne $50\%$ de dépassement, et une marge encore confortable à $40\mathrm{s}$, où la boucle oscille sans fin. Il ne prévoit l'instabilité que pour $\frac{T_e}{2\tau }=\frac{\pi }{2}$, soit $T_e=\pi \tau =62,8\mathrm{s}$, au lieu de $2\tau =40\mathrm{s}$. Il n'est fiable que si ${\omega }_c{T}_e=T_e/\tau$ est petit : à $T_e=1\mathrm{s}$, il est excellent.

5) Le soutirage et le bilan. Avec $q_s$ constant, ${\epsilon }_{k+1}=r{\epsilon }_k+\frac{T_e}{S}{q}_s$. Au point fixe, $\epsilon =r\epsilon +\frac{T_e}{S}{q}_s$, soit $\frac{T_e}{\tau }\epsilon =\frac{T_e}{S}{q}_s$ : $${\epsilon }_{\infty }=\frac{q_s}{K}=\frac{0,005}{0,075}=0,067\mathrm{m}=6,7\mathrm{cm}\le 10\mathrm{cm},$$ indépendant de $T_e$ et égal à l'écart du modèle continu : l'échantillonnage change la dynamique, pas le régime établi.

Règle : $T_e\le \tau$ pour que le niveau ne dépasse jamais sa consigne ; $T_e\lesssim \tau /10$ pour que le modèle continu, et le réglage qu'on en a tiré, disent vrai.

Ce que l'exercice installe. Écrire la récurrence exacte d'un intégrateur commandé par un signal bloqué ; lire la stabilité et l'oscillation sur la raison d'une suite géométrique ; voir le modèle continu perdre sa validité quand la période d'échantillonnage approche les constantes de temps de la boucle ; savoir que le modèle du retard $T_e/2$ n'est bon que pour ${\omega }_c{T}_e$ petit ; et que le régime établi, point fixe de la récurrence, ne dépend pas de $T_e$.