sciences industrielles (PSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Le four tunnel : un correcteur proportionnel intégral programmé, un retard pur, et la période qui s'y ajoute

Systèmes séquentiels et commande numérique · E. Commande numérique : bloqueur, retard et limites du modèle continu · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un four tunnel, des panneaux défilent sur un convoyeur et sèchent dans l'air chaud ; un automate règle la température par la puissance de chauffe $u$ (en pourcentage). Le thermocouple est placé en aval des résistances : l'air met $θ = 12 s$ à l'atteindre. Les températures étant comptées à partir de l'ambiante, le four a pour fonction de transfert $H (p) = \frac{K e ^{- θ p}}{1 + T p}, K = 3^{\circ} C /%, θ = 12 s, T = 40 s .$ L'automate échantillonne à $T_{e} = 2 s$ . La puissance est modulée par trains d'ondes entières : sur chaque période de $2 s$ , soit $100$ périodes du secteur, on laisse passer un nombre entier de périodes, d'où un pas de commande de $1 %$ . Le thermocouple est numérisé sur $12$ bits entre $0$ et $400^{\circ} C$ .

Cahier des charges : écart statique nul ; $M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$ ; dépassement $\leq 10 %$ sur une marche de consigne de $10^{\circ} C$ ; en régime établi à $160^{\circ} C$ , ondulation de température $\leq \pm 1^{\circ} C$ .

1) Les récurrences. Le four, soumis pendant une période à une puissance constante, répond comme un premier ordre retardé. Le retard valant six périodes, justifier la récurrence $y_{k + 1} = a y_{k} + K (1 - a) u_{k - 6}$ , avec $a = e^{- T_{e} / T}$ , et calculer $a$ . Le correcteur proportionnel intégral $C (p) = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} p})$ , discrétisé par le schéma arrière, s'écrit $u_{k} = u_{k - 1} + K_{p} [(1 + \frac{T _{e}}{T _{i}}) e_{k} - e_{k - 1}]$ . Montrer que l'écart statique est nul en lisant le point fixe de cette récurrence.

2) Le réglage. On compense le pôle du four ( $T_{i} = T$ ) et l'on assimile le bloqueur à un retard de $T_{e} /2$ . Écrire la FTBO ; régler $K_{p}$ pour $M_{φ} = 6 0^{\circ}$ (la marge visée est supérieure à l'exigence, car c'est le dépassement qui est contraignant). Que trouverait-on en oubliant $T_{e} /2$ ?

3) La période. Résultats de simulation des récurrences (donnés) pour une marche de $10^{\circ} C$ , avec le $K_{p}$ de la question 2 :

$T_{e}$	$2 s$	$4 s$	$6 s$	$12 s$
$M_{φ}$ exacte	$60, 1^{\circ}$	$57, 7^{\circ}$	$55, 1^{\circ}$	$46, 3^{\circ}$
dépassement	$5, 7 %$	$9, 1 %$	$13, 0 %$	$29 %$
$t_{5%}$	$62 s$	$68 s$	$72 s$	$120 s$

Calculer les marges prévues par le modèle du retard $T_{e} /2$ et les comparer. Quelle période maximale le cahier des charges autorise-t-il ?

4) La quantification. À $160^{\circ} C$ , quelle puissance faut-il ? La simulation (donnée) montre qu'en régime établi la commande alterne entre $53 %$ (pendant $40 s$ ) et $54 %$ (pendant $20 s$ ), et que la température oscille de $0, 96^{\circ} C$ crête à crête. Expliquer ce cycle limite. L'exigence est-elle tenue ? Que vaut le pas de mesure du thermocouple ? Dresser le bilan.

Corrigé

La stratégie. On écrit tout en récurrences, procédé et correcteur : la précision se lit sur le point fixe, la stabilité se règle sur le modèle continu augmenté de $T_{e} /2$ , puis on confronte ce modèle aux résultats exacts.

1) Les récurrences. Sur une période, la puissance vaut $u$ , constante ; la réponse d'un premier ordre partant de $y_{k}$ est $y (t) = K u + (y_{k} - K u) e^{- t / T}$ , d'où, après $T_{e}$ : $y_{k + 1} = a y_{k} + K (1 - a) u$ , avec $a = e^{- 2/40} = 0, 9512$ . Le retard décale l'effet de la commande de $θ / T_{e} = 6$ périodes : c'est $u_{k - 6}$ qui agit. L'automate garde donc en mémoire une file des six dernières commandes. Au point fixe du correcteur, $u_{k} = u_{k - 1}$ et $e_{k} = e_{k - 1} = e$ : $0 = K_{p} [(1 + \frac{T _{e}}{T _{i}}) e - e] = K_{p} \frac{T _{e}}{T _{i}} e ⟹ e = 0.$ L'écart statique nul vient du terme $u_{k - 1}$ , qui accumule : c'est l'intégrateur, écrit comme une somme.

2) Le réglage. Avec $T_{i} = T$ , $C (p) H (p) = \frac{K _{p} K}{T p} e^{- θ p}$ , et avec le bloqueur, $FTBO (p) = \frac{K _{p} K}{T p} e^{- (θ + T_{e} /2) p}$ : un intégrateur et un retard équivalent $θ^{'} = θ + T_{e} /2 = 13 s$ . La phase vaut $- 9 0^{\circ} - ω θ^{'}$ ; la marge de $6 0^{\circ}$ impose $ω_{c} θ^{'} = 3 0^{\circ} = π /6$ : $ω_{c} = \frac{0 , 524}{13} = 0, 0403 rad s^{- 1}, \frac{K _{p} K}{T ω _{c}} = 1 ⟹ K_{p} = \frac{T ω _{c}}{K} = \frac{40 \times 0 , 0403}{3} = 0, 537 %/^{\circ} C .$ En oubliant $T_{e} /2$ : $ω_{c} = 0, 524/12 = 0, 0436 rad s^{- 1}$ et $K_{p} = 0, 582$ , $8 %$ de trop. À $T_{e} = 2 s$ , la période n'ajoute qu'une seconde aux douze du retard : elle pèse peu, parce que le retard pur, lui, pèse beaucoup.

3) La période. Le modèle donne $M_{φ} = 9 0^{\circ} - ω_{c} (θ + T_{e} /2)$ avec $ω_{c} = K_{p} K / T$ inchangé : $60, 0^{\circ}$ , $57, 7^{\circ}$ , $55, 4^{\circ}$ et $48, 5^{\circ}$ pour $T_{e} = 2$ , $4$ , $6$ , $12 s$ . Il colle aux valeurs exactes tant que $ω_{c} T_{e}$ est petit ( $0, 08$ à $2 s$ ) et s'en écarte de $2^{\circ}$ à $12 s$ ( $ω_{c} T_{e} = 0, 48$ ).

En pointillé, la limite de $10 %$ de dépassement. Le point à retenir : la marge tient, le dépassement non. À $6 s$ , $5 5^{\circ}$ de marge et $13 %$ de dépassement ; à $12 s$ , la marge est encore conforme ( $4 6^{\circ}$ ) et le dépassement vaut $29 %$ . Une marge est un indicateur ; c'est le critère écrit dans le cahier des charges qu'on vérifie. Le dépassement exige $T_{e} \leq 4 s$ (à $K_{p}$ inchangé).

4) La quantification. À $160^{\circ} C$ , il faut $u = 160/3 = 53, 3 %$ , que le pas de $1 %$ ne sait pas produire. À $53 %$ , le four tend vers $159^{\circ} C$ : l'écart est positif et s'accumule dans $u_{k - 1}$ jusqu'à faire franchir l'arrondi à $54 %$ ; le four tend alors vers $162^{\circ} C$ , l'écart change de signe, l'intégrateur redescend, et ainsi de suite. La commande passe en moyenne $53, 3 %$ ( $40 s$ à $53$ , $20 s$ à $54$ ) : la moyenne est juste, mais la température oscille. C'est un cycle limite, que le modèle linéaire ne connaît pas : un intégrateur et une quantification suffisent à le créer. Son amplitude, $\pm 0, 48^{\circ} C$ , tient l'exigence ; avec un pas de $0, 1 %$ (gradateur), elle serait dix fois plus faible. Côté mesure, $400/ 2^{12} = 0, 098^{\circ} C$ : négligeable.

Exigence	$T_{e} = 2 s$	$T_{e} = 6 s$
écart statique nul	point fixe : tenue	tenue
$M_{φ} \geq 4 5^{\circ}$	$60, 1^{\circ}$ : tenue	$55, 1^{\circ}$ : tenue
dépassement $\leq 10 %$	$5, 7 %$ : tenue	$13, 0 %$ : non tenue
ondulation $\leq \pm 1^{\circ} C$	$\pm 0, 48^{\circ} C$ : tenue	—

Ce que l'exercice installe. Écrire en récurrences un procédé à retard (une file de commandes) et un correcteur proportionnel intégral ; lire l'écart statique nul sur le point fixe ; ajouter $T_{e} /2$ au retard pur pour régler par la marge ; constater que la marge ne garantit pas le dépassement ; reconnaître le cycle limite qu'une commande quantifiée crée avec un intégrateur, et le chiffrer.

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