sciences industrielles (PSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Mesurer une vitesse avec un codeur : quantification, fenêtre et repliement

Systèmes séquentiels et commande numérique · D. Signaux à temps discret : échantillonnage et quantification · niveau 2

Énoncé

Le moteur d'une bobineuse de câble tourne entre $100$ et $3000 tr mi n^{- 1}$ . Sa vitesse est mesurée par un codeur incrémental de $1024$ traits par tour, lu en quadrature (quatre fronts par trait, soit $4096$ incréments par tour) par un compteur matériel ; le calculateur de la boucle de vitesse lit le compteur toutes les $T_{e} = 1 ms$ . La boucle de vitesse a une bande passante d'environ $30 Hz$ . Cahier des charges de la mesure : résolution $\leq 2 tr mi n^{- 1}$ sur toute la plage ; retard de mesure $\leq 5 ms$ .

1) On estime la vitesse par la différence de deux comptages successifs, $Ω_{k} = \frac{N _{k} - N _{k - 1}}{4 096 T _{e}}$ (dérivation numérique par le schéma arrière). Quel est le quantum de vitesse, c'est-à-dire l'écart entre deux valeurs possibles de $Ω_{k}$ , en $tr mi n^{- 1}$ ? Que représente-t-il à $3000$ et à $100 tr mi n^{- 1}$ ? L'exigence est-elle tenue ?

2) On calcule plutôt $Ω_{k} = \frac{N _{k} - N _{k - n}}{4 096 n T _{e}}$ . Montrer que c'est la moyenne glissante des $n$ dernières différences. Quel est le quantum ? En admettant que cette moyenne estime la vitesse au milieu de la fenêtre, quel est le retard de la mesure ? Choisir $n$ .

3) La machine était équipée d'une dynamo tachymétrique, échantillonnée à $1 kHz$ . Son collecteur à $20$ lames superpose à la tension une ondulation de $2 %$ , de fréquence $20$ fois la fréquence de rotation. Que voit le calculateur à $2940 tr mi n^{- 1}$ ? Un filtre anti-repliement du premier ordre, placé avant l'échantillonneur, doit diviser l'ondulation par $20$ : quelle fréquence de coupure faut-il, et quel déphasage apporte-t-il à $30 Hz$ ? Donnée : une mesure qui fait la moyenne d'une sinusoïde de fréquence $f$ sur une durée $T_{e}$ en multiplie l'amplitude par $\frac{sin ( π f T _{e} )}{π f T _{e}}$ , et la retarde de $T_{e} /2$ . Que devient l'ondulation si la tension de la dynamo est convertie par un convertisseur qui intègre sur $T_{e}$ ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Un comptage est une mesure quantifiée : un incrément de plus ou de moins dans la fenêtre de calcul, c'est un quantum de vitesse. On le divise en allongeant la fenêtre, au prix d'un retard ; puis on compare à la mesure analogique, que l'échantillonnage expose au repliement.

1) Le quantum. Un incrément de différence pendant $T_{e}$ correspond à $q_{Ω} = \frac{1}{4 096 \times 1 0 ^{- 3}} tr s^{- 1} = 0, 244 tr s^{- 1} = 14, 6 tr mi n^{- 1} .$ À $3000 tr mi n^{- 1}$ c'est $0, 49 %$ ; à $100 tr mi n^{- 1}$ , $14, 6 %$ : il passe $6, 8$ incréments par milliseconde, le comptage donne $6$ ou $7$ , et la mesure saute entre $88$ et $103 tr mi n^{- 1}$ d'une milliseconde à l'autre. Résolution $14, 6 > 2 tr mi n^{- 1}$ : non tenue. Le codeur est très fin en position ; c'est la dérivation sur une période courte qui rend la vitesse grossière.

2) La fenêtre. $N_{k} - N_{k - n} = \sum_{i = 0}^{n - 1} (N_{k - i} - N_{k - i - 1})$ , donc $Ω_{k} = \frac{1}{n} i = 0 \sum n - 1 \frac{N _{k - i} - N _{k - i - 1}}{4 096 T _{e}},$ la moyenne glissante des $n$ dernières différences. Un incrément de plus sur la fenêtre $n T_{e}$ vaut $q_{Ω} / n$ . La moyenne sur $[t - n T_{e}, t]$ estime la vitesse à l'instant $t - n T_{e} /2$ : retard $n T_{e} /2$ . Les deux exigences encadrent $n$ : $\frac{14 , 6}{n} \leq 2 \Rightarrow n \geq 7, 3, \frac{n \times 1 ms}{2} \leq 5 ms \Rightarrow n \leq 10.$ Avec $n = 8$ : quantum $1, 83 tr mi n^{- 1}$ , retard $4 ms$ : les deux tenues. La moyenne glissante est un filtre passe-bas numérique : elle lisse en retardant.

3) La dynamo et le repliement. À $2940 tr mi n^{- 1} = 49 tr s^{- 1}$ , l'ondulation a la fréquence $20 \times 49 = 980 Hz$ , au-dessus de $f_{e} /2 = 500 Hz$ : les échantillons pris tous les $1 ms$ tombent sur une sinusoïde de fréquence $∣ 980 - 1000 ∣ = 20 Hz$ .

En gris, l'ondulation à $980 Hz$ ; en bleu, ses échantillons à $1 kHz$ ; ils dessinent la sinusoïde rouge à $20 Hz$ . Le calculateur voit une oscillation de $2 %$ à $20 Hz$ , en plein dans la bande passante de la boucle : il la « corrige », et fait osciller la bobineuse. Aucun traitement numérique ne peut l'en distinguer d'une vraie variation de vitesse.

Filtre anti-repliement. Pour un premier ordre, $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{2} \leq 1/20$ à $980 Hz$ impose $980/ f_{c} \geq 399 = 19, 97$ , soit $f_{c} \leq 49 Hz$ . À $30 Hz$ il retarde la phase de $arctan (30/49) = 3 1^{\circ}$ , pris sur la marge de la boucle de vitesse : non acceptable.

Mesure par intégration. À $980 Hz$ , $π f T_{e} = 3, 08 rad$ et $\frac{sin ( 3 , 08 )}{3 , 08} = 0, 020$ : l'ondulation tombe de $2 %$ à $0, 04 %$ , pour un retard de $T_{e} /2 = 0, 5 ms$ , soit $36 0^{\circ} \times 30 \times 0, 5 \times 1 0^{- 3} = 5, 4^{\circ}$ à $30 Hz$ . La fréquence $980 Hz$ est presque un multiple de $1/ T_{e}$ : la moyenne sur une période l'annule presque. Or un comptage est exactement une mesure moyennée : $N_{k} - N_{k - 1}$ est l'intégrale de la vitesse sur $T_{e}$ . Le codeur, lui, n'a pas de collecteur, et sa mesure est par construction une moyenne.

Exigence	Différence sur $1 ms$	Fenêtre de $8 ms$	Dynamo et filtre
résolution $\leq 2 tr mi n^{- 1}$	$14, 6$ : non tenue	$1, 83$ : tenue	—
retard $\leq 5 ms$	$0, 5 ms$ : tenue	$4 ms$ : tenue	$3 1^{\circ}$ à $30 Hz$
pas d'oscillation parasite	—	—	repliement à $20 Hz$

Conclusion : le codeur, avec une fenêtre de $8 ms$ .

Ce que l'exercice installe. Chiffrer la résolution d'une mesure numérique (un incrément sur la fenêtre de calcul) ; savoir qu'une dérivation numérique dégrade la résolution et qu'une moyenne glissante la rend au prix d'un retard de la moitié de la fenêtre ; reconnaître le repliement : une fréquence $f$ au-delà de $f_{e} /2$ apparaît à $∣ f - k f_{e} ∣$ ; savoir qu'un filtre anti-repliement se paie en phase, et qu'une mesure qui intègre sur $T_{e}$ filtre d'elle-même.

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