Repliement : choisir la fréquence d'échantillonnage et le filtre

Systèmes séquentiels et commande numérique · niveau 2

Énoncé

Un signal utile de bande $0$ – $150 Hz$ est pollué par un parasite à $850 Hz$ ; on l'échantillonne à $f_{e} = 1 kHz$ .

Où apparaît le parasite après échantillonnage ?
Un filtre anti-repliement du premier ordre de coupure $200 Hz$ convient-il ? On veut atténuer le parasite d'au moins $15 dB$ en perdant au plus $5 %$ du signal utile.
Même question avec un filtre du second ordre de Butterworth, de coupure $300 Hz$ , $∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{4}$ .
Quelle autre solution offre l'échantillonnage ?

$850 Hz > f_{e} /2 = 500 Hz$ : il se replie en $∣ 850 - 1000 ∣ = 150 Hz$ , au bord de la bande utile, d'où aucun traitement numérique ne pourra l'extraire.
$∣ H ∣ = 1/ 1 + (f / f_{c})^{2}$ : à $850 Hz$ , $1/ 1 + 4, 2 5^{2} = 0, 229$ , soit $- 12, 8 dB$ ; à $150 Hz$ , $1/ 1 + 0, 7 5^{2} = 0, 80$ : le signal utile perd $20 %$ . Ni l'atténuation ni la transparence ne sont tenues : un premier ordre coupe trop lentement.
À $850 Hz$ , $(850/300)^{4} = 64, 4$ et $∣ H ∣ = 0, 124$ , soit $- 18, 2 dB$ ; à $150 Hz$ , $∣ H ∣ = 1/ 1 + 0, 0625 = 0, 970$ , perte de $3 %$ : tenue. La pente de $- 40 dB$ par décade fait la différence.
Échantillonner plus vite, par exemple à $5 kHz$ : $850 Hz < 2500 Hz$ ne se replie plus ; un filtre analogique sommaire suffit contre les fréquences très hautes, et le parasite est ensuite éliminé par un filtre numérique, avant de réduire la cadence si besoin.