Chariot filoguidé d'atelier : ce que coûte la résistance au roulement

Conventions. $\overrightarrow{x}$ est le sens de marche, $\overrightarrow{y}$ la verticale ascendante, $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{y}$. Le châssis est en translation ; la roue $i$, de centre $O_i$ (son centre d'inertie), tourne à $\overrightarrow{\Omega }(i/R_0)=-\omega \overrightarrow{z}$, et le roulement sans glissement donne $V=R\omega$, $\dot{V}=R\dot{\omega }$. L'action du sol sur la roue $i$ comprend la résultante $T_i\overrightarrow{x}+N_i\overrightarrow{y}$ en $I_i$ et le moment de résistance au roulement, opposé à la composante tangentielle de $\overrightarrow{\Omega }(i/\text{sol})=-\omega \overrightarrow{z}$ : il vaut $+\delta N_i\overrightarrow{z}$ quand le chariot avance.

1. Roue folle, vitesse constante. On isole la roue. Actions extérieures : le pivot (parfait, de moment nul sur $\overrightarrow{z}$ en $O_i$), le poids (qui passe par $O_i$) et le sol. $O_i$ est son centre d'inertie et $\omega$ est constant : $\overrightarrow{\delta }(O_i)\cdot \overrightarrow{z}=-J\dot{\omega }=0$. Théorème du moment dynamique en $O_i$ sur $\overrightarrow{z}$, avec $\overrightarrow{O_i{I}_i}\wedge T\overrightarrow{x}=(-R\overrightarrow{y})\wedge T\overrightarrow{x}=RT\overrightarrow{z}$ :

$$0=RT+\delta N⟹T=-\frac{\delta N}{R}.$$

L'action tangentielle est résistante, bien que le contact soit sans glissement : c'est le moment de contact $\delta N$ que l'isolement de la roue convertit en force. Pour le chariot, chaque roue apporte de même la résistance $\delta N_i/R$ (les roues motrices reçoivent en plus l'action motrice $C_m/R$), et le théorème de la résultante dynamique sur $\overrightarrow{y}$ donne $\sum N_i=Mg$ (aucune accélération verticale) : la résistance totale vaut $\delta Mg/R=1,2\times 10^{-3}\times 1200\times 9,81/0,10=141\mathrm{N}$, soit un coefficient équivalent $\delta /R=0,012$, vingt-cinq fois plus petit que $f$.

2. Démarrage. Pour chaque roue, le théorème du moment dynamique en $O_i$ sur $\overrightarrow{z}$ (le couple moteur, $-C_m\overrightarrow{z}$, est dans le sens de $\overrightarrow{\Omega }$) donne $-J\dot{\omega }=-C_i+R{T}_i+\delta N_i$, soit

$$C_i=J\dot{\omega }+R{T}_i+\delta N_i,C_i=C_m\text{ (motrices)},C_i=0\text{ (folles)}.$$

On isole ensuite le chariot entier, roues comprises : les actions des moteurs et des pivots sont intérieures ; tous les centres $O_i$ et $G$ ont l'accélération $a\overrightarrow{x}$. Théorème de la résultante dynamique : sur $\overrightarrow{x}$, $\sum T_i=Ma$ ; sur $\overrightarrow{y}$, $\sum N_i=Mg$. En sommant les quatre équations des roues, avec $\dot{\omega }=a/R$ :

$$C_{\text{tot}}=2C_m=\left(MR+\frac{4J}{R}\right)a+\delta Mg.$$

Seule la somme $\sum N_i$ intervient : le couple total ne dépend pas de la répartition des charges entre les roues, ni de la position de $G$. Numériquement, $C_{\text{tot}}=60,0+1,20+14,13=75,3\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, soit $C_m=37,7\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}<40\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : conforme, avec une marge de $5,8\%$. La résistance au roulement prend $18,8\%$ du couple, l'inertie des roues $1,6\%$ : la négliger aurait fait croire à une marge de $23\%$. L'accélération maximale est

$$a_{\max }=\frac{2\times 40-\delta Mg}{MR+4J/R}=\frac{80-14,13}{122,4}=0,538\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$

soit $1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ atteints en $2,79\mathrm{s}$ au lieu de $3\mathrm{s}$. Homogénéité : $MRa$, $Ja/R$ et $\delta Mg$ sont des $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$, des $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$.

3. Adhérence. Le théorème du moment dynamique en $G$ (le chariot est en translation, aux $4J\dot{\omega }=1,2\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ des roues près) donne, comme pour tout véhicule qui accélère, un transfert de charge $Mah/L=1200\times 0,5\times 0,50/1,0=300\mathrm{N}$ vers l'essieu arrière, sur $Mg/2=5886\mathrm{N}$ par essieu : $5\%$, négligeable ici, et qui chargerait de toute façon les roues motrices. Chaque roue porte donc $N=Mg/4=2943\mathrm{N}$, d'où $\delta N=3,53\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ et $J\dot{\omega }=0,06\times 5=0,30\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ :

$$T_{\text{mot}}=\frac{C_m-\delta N-J\dot{\omega }}{R}=338,3\mathrm{N},T_{\text{folle}}=\frac{-\delta N-J\dot{\omega }}{R}=-38,3\mathrm{N}.$$

Vérification : $2\times 338,3-2\times 38,3=600\mathrm{N}=Ma$. Le sol freine les roues folles même à l'accélération : il doit les faire tourner plus vite et vaincre leur résistance au roulement. Sur une roue motrice, $T/N=0,115<f=0,3$ : pas de patinage, marge large.

4. Roue libre. Les efforts sont connus ($C_i=0$) : la somme des équations des roues et la résultante donnent

$$\left(MR+\frac{4J}{R}\right)\dot{V}=-\delta Mg⟹\dot{V}=-\frac{14,13}{122,4}=-0,115\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$

une décélération constante : $V(t)=V_0+\dot{V}t$, arrêt en $V_0/|\dot{V}|=13,0\mathrm{s}$ sur $V_0^2/(2|\dot{V}|)=9,75\mathrm{m}$. L'inertie des roues n'allonge la distance que du facteur $(MR+4J/R)/(MR)=1,02$. À vitesse constante, $C_{\text{tot}}=\delta Mg=14,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ($7,06\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ par moteur), et la puissance vaut $C_{\text{tot}}\omega =14,13\times 15=212\mathrm{W}$, soit aussi $(\delta Mg/R)V$ : la résistance au roulement est toute la consommation en croisière.

5. Validité et conception. $\delta$ dépend des matériaux (bandage, sol), de la charge (qui écrase le bandage), de la vitesse et de la température : c'est une donnée d'essai, valable dans ses conditions ; un sol fissuré ou sale l'augmente. La résistance de l'air est bien négligeable à $1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (de l'ordre du newton). Avec des roues de rayon $0,20\mathrm{m}$, la résistance force tombe à $\delta Mg/R=70,6\mathrm{N}$ (un chariot poussé à la main roule mieux), mais le couple de résistance aux roues reste $\delta Mg$ et le terme d'inertie $MRa$ double : pour un chariot motorisé, les grandes roues ne réduisent pas le couple. Cas limite $\delta \to 0$ : $C_{\text{tot}}=(MR+4J/R)a$, le couple d'inertie seul (masse équivalente $M+4J/R^2=1224\mathrm{kg}$), et en roue libre $\dot{V}\to 0$ : le chariot ne s'arrêterait plus.

Ce que l'exercice installe. La résistance au roulement est un moment de contact, $\delta N$, et non une force ; c'est l'isolement de la roue, par le théorème du moment dynamique sur son axe, qui la traduit en action tangentielle résistante $\delta N/R$. À l'échelle du véhicule, elle ne dépend que de $\sum N_i=Mg$ ; elle pèse ici près d'un cinquième du couple de démarrage et toute la puissance de croisière : on ne la néglige pas dans le choix d'un motoréducteur.