Complément — Stabilité de la rotation libre d'un solide

Dynamique des solides et principe fondamental de la dynamique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Complément hors programme : les équations d'Euler n'y figurent pas. Un solide de moments principaux d'inertie en $G$ $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ tourne librement (aucune action extérieure de moment non nul en $G$ ), par exemple une raquette lancée en l'air. Dans la base principale liée au solide, $Ω = ω_{1} e_{1} + ω_{2} e_{2} + ω_{3} e_{3}$ .

Écrire les équations d'Euler du solide libre.
Linéariser autour d'une rotation uniforme $Ω_{0}$ autour de chacun des trois axes principaux. Conclure sur la stabilité de chaque rotation (au sens de l'approximation linéaire).
Taux de divergence autour de l'axe intermédiaire pour $I_{1} : I_{2} : I_{3} = 1 : 2 : 3$ .

Corrigé

1. $δ (G) = 0$ et la dérivation en base mobile donnent

$I_{1} ω ˙_{1} = (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3}, I_{2} ω ˙_{2} = (I_{3} - I_{1}) ω_{3} ω_{1}, I_{3} ω ˙_{3} = (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2} .$

2. Autour de $e_{1}$ : $ω_{1} = Ω_{0} + ε_{1}$ , $ω_{2} = ε_{2}$ , $ω_{3} = ε_{3}$ , petits. Au premier ordre, $ε ˙_{1} = 0$ , $I_{2} ε ˙_{2} = (I_{3} - I_{1}) Ω_{0} ε_{3}$ , $I_{3} ε ˙_{3} = (I_{1} - I_{2}) Ω_{0} ε_{2}$ , d'où

$ε ¨_{2} = \frac{( I _{3} - I _{1} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{2} I _{3}} Ω_{0}^{2} ε_{2},$

de coefficient négatif : $ε_{2}$ oscille, la rotation est stable. Autour de $e_{3}$ : de même $ε ¨_{1} = \frac{( I _{2} - I _{3} ) ( I _{3} - I _{1} )}{I _{1} I _{2}} Ω_{0}^{2} ε_{1}$ , coefficient négatif : stable. Autour de $e_{2}$ : $I_{1} ε ˙_{1} = (I_{2} - I_{3}) Ω_{0} ε_{3}$ , $I_{3} ε ˙_{3} = (I_{1} - I_{2}) Ω_{0} ε_{1}$ , d'où

$ε ¨_{1} = \frac{( I _{2} - I _{1} ) ( I _{3} - I _{2} )}{I _{1} I _{3}} Ω_{0}^{2} ε_{1},$

de coefficient positif : une solution croît comme $e^{s t}$ avec $s = Ω_{0} \frac{( I _{2} - I _{1} ) ( I _{3} - I _{2} )}{I _{1} I _{3}}$ . La rotation autour de l'axe intermédiaire est instable : c'est le retournement d'une raquette lancée en tournant autour de l'axe situé dans le plan du tamis et perpendiculaire au manche (son axe intermédiaire), effet observé aussi en apesanteur sur un écrou à oreilles.

3. Pour $1 : 2 : 3$ , $s = Ω_{0} \frac{1 \times 1}{1 \times 3} = 0, 577 Ω_{0}$ : à deux tours par seconde ( $Ω_{0} = 12, 6 rad s^{- 1}$ ), une perturbation est multipliée par dix en $\frac{l n 10}{0 , 577 \times 12 , 6} = 0, 32 s$ , en moins d'un tour.