Cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné

Dynamique des solides et principe fondamental de la dynamique · niveau 2

Énoncé

Un cylindre plein homogène de masse $m$ et de rayon $R$ ( $J_{G} = \frac{1}{2} m R^{2}$ ) descend un plan incliné d'un angle $α$ sur l'horizontale en roulant sans glisser en $I$ ; coefficient d'adhérence $f$ . On note $x$ l'abscisse de $G$ le long de la pente ( $x$ descendant), $y$ la normale sortante au plan, $z = x \land y$ , et $Ω = - ω z$ . Calculer $x ¨$ , les composantes $T$ et $N$ de l'action du plan, et la condition de non-glissement.

Corrigé

On isole le cylindre ; actions extérieures : poids en $G$ , action du plan en $I$ , $- T x + N y$ . Théorème de la résultante dynamique : sur $x$ , $m x ¨ = m g sin α - T$ ; sur $y$ , $G$ restant à la distance $R$ du plan, $0 = N - m g cos α$ , donc $N = m g cos α$ . Théorème du moment dynamique en $G$ sur $- z$ (moment de $- T x$ en $G$ : $G I \land (- T x) = (- R y) \land (- T x) = - R T z$ ) : $J_{G} ω ˙ = R T$ . Roulement sans glissement en $I$ : $V (I \in S / R_{0}) = x ˙ x + (- ω z) \land (- R y) = (x ˙ - R ω) x = 0$ , donc $x ¨ = R ω ˙$ . D'où $T = \frac{J _{G} x ¨}{R ^{2}} = \frac{1}{2} m x ¨$ , et

$x ¨ = \frac{2}{3} g sin α, T = \frac{1}{3} m g sin α, N = m g cos α .$

L'hypothèse de roulement sans glissement est valide tant que les lois de Coulomb sont respectées : $T \leq f N ⟺ tan α \leq 3 f$ . Pour $f = 0, 2$ , le cylindre roule sans glisser jusqu'à $α = 3 1^{\circ}$ . Un tiers de la pente sert à faire tourner le cylindre : il descend moins vite qu'un solide qui glisserait sans frottement ( $g sin α$ ).