Pendule pesant : équation du mouvement et action du pivot

Isolement. On isole le solide $(S)$ entier (et non une partie : toute la masse est dans le bilan dynamique). Actions extérieures : la pesanteur, glisseur $mg{\overrightarrow{x}}_0$ en $G$, et l'action du pivot, de résultante $\overrightarrow{R}$ et de moment nul sur ${\overrightarrow{z}}_0$ en $O$.

1. $O$ est fixe : par le théorème du moment dynamique sur l'axe fixe, $J_O\ddot{\theta }=\left(a{\overrightarrow{e}}_r\wedge mg{\overrightarrow{x}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{z}}_0=-mga\sin \theta$, soit

$$\ddot{\theta }+\frac{mga}{J_O}\sin \theta =0.$$

Le pivot n'intervient pas : c'est tout l'intérêt de projeter sur son axe.

2. Le théorème de la résultante dynamique donne $\overrightarrow{R}$ : $\overrightarrow{R}+mg{\overrightarrow{x}}_0=m\overrightarrow{\Gamma }(G/R_0)=ma\ddot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }-ma{\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{e}}_r$. Avec ${\overrightarrow{x}}_0=\cos \theta {\overrightarrow{e}}_r-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }$ et l'équation du mouvement :

$$R_r=-mg\cos \theta -ma{\dot{\theta }}^2,R_{\theta }=ma\ddot{\theta }+mg\sin \theta =mg\sin \theta \left(1-\frac{m{a}^2}{J_O}\right).$$

Pour une masse ponctuelle au bout d'une tige sans masse, $J_O=m{a}^2$ et $R_{\theta }=0$ : la tige ne transmet qu'un effort le long d'elle-même, ce qui est cohérent.

3. À la verticale, $\theta =0$ : $R_{\theta }=0$ et $\Vert \overrightarrow{R}\Vert =mg+ma{\dot{\theta }}^2=mg\left(1+\frac{2m{a}^2}{J_O}\right)$. Pour la tige, $\frac{2m{a}^2}{J_O}=\frac{2(L^2/4)}{L^2/3}=\frac{3}{2}$ : le pivot porte $2,5\mathbf{mg}$, indépendamment de $L$. Le dimensionnement d'un pivot de pendule se fait sur la dynamique, pas sur le poids.