Problème — Couple moteur d'un axe de site d'antenne

1. L'antenne est en rotation autour d'un axe fixe ; actions extérieures : le couple $C_s$ du réducteur, le couple du vent $-C_v$, la pesanteur (dont le moment sur l'axe est nul, l'antenne étant équilibrée) et les paliers (pivot parfait). Théorème du moment dynamique sur l'axe : $J_a\ddot{\theta }=C_s-C_0\cos \theta$.

2. Rotor isolé, autour de son axe fixe : $J_m{\dot{\omega }}_m=C_m-C_e$. Le réducteur transmet la puissance avec le rendement $\eta$ (hypothèse : appliqué aussi en transitoire, inertie du réducteur négligée) : $C_s{\omega }_a=\eta C_e{\omega }_m$, d'où $C_e=\frac{r}{\eta }{C}_s$. Avec $\ddot{\theta }=r{\dot{\omega }}_m$ :

$$\left(J_m+\frac{r^2}{\eta }{J}_a\right){\dot{\omega }}_m=C_m-\frac{r}{\eta }{C}_0\cos \theta .$$

$J_m+\frac{r^2}{\eta }{J}_a=2\times 10^{-3}+8,27\times 10^{-3}=1,03\times 10^{-2}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ : c'est l'inertie équivalente ramenée à l'arbre moteur ; le rotor, vingt-deux mille fois moins inerte que l'antenne, en représente pourtant $19\%$, parce que l'inertie de l'antenne est divisée par $r^2=6400$.

3. Le pire cas est $\cos \theta =1$ (antenne horizontale). Côté antenne, $C_s=J_a\ddot{\theta }+C_0=45\times 2,5+600=712,5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ; côté moteur, ${\dot{\omega }}_m=\ddot{\theta }/r=200\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}$ et

$$C_m=J_m{\dot{\omega }}_m+\frac{r}{\eta }{C}_s=0,40+\frac{712,5}{80\times 0,85}=0,40+10,48=10,88\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}.$$

Négliger $J_m$ sous-estimerait le couple de $4\%$.

4. $12\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}>10,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : le choix est conforme, avec une marge de $10\%$. L'essentiel du couple sert à vaincre le vent ($600$ sur $712,5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ en sortie) ; si le cahier des charges imposait une accélération double, le couple passerait à $\frac{825}{68}+0,80=12,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$, hors du domaine du moteur.