Problème : équilibrer une roue automobile, l'équilibrage statique ne suffit pas

La stratégie. Le mouvement est imposé (rotation uniforme) : le principe fondamental donne les actions des paliers. On calcule le torseur dynamique en $O$, point fixe, par la matrice d'inertie, constante dans $R_1$, et la dérivation en base mobile ; les conditions qui annulent ce torseur sont la condition d'équilibrage ; on les réalise avec deux masses en résolvant un système linéaire.

1) Un torseur dynamique tournant. Vitesse angulaire : $\omega =\frac{130/3,6}{0,31}=116,5\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($1112tr/min$, $18,5\mathrm{Hz}$), ${\omega }^2=1,357\times 10^4{\mathrm{s}}^{-2}$. $G$ décrit un cercle de rayon $x_G$ à vitesse constante : $\overrightarrow{D}=m\overrightarrow{\Gamma }(G/R_0)=-m{\omega }^2\left(x_G{\overrightarrow{x}}_1+y_G{\overrightarrow{y}}_1\right)$, de norme $22\times 1,357\times 10^4\times 1,2\times 10^{-4}=35,8\mathrm{N}$. $O$ est fixe et lié à la roue : $\overrightarrow{\sigma }(O)=[I(O)]\omega \overrightarrow{z}=-E\omega {\overrightarrow{x}}_1-D\omega {\overrightarrow{y}}_1+C\omega \overrightarrow{z}$. Les composantes sont constantes dans $R_1$ ; avec ${\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{x}}_1}{\mathrm{d}t}|}_{R_0}=\omega {\overrightarrow{y}}_1$ et ${\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{y}}_1}{\mathrm{d}t}|}_{R_0}=-\omega {\overrightarrow{x}}_1$ : $$\overrightarrow{\delta }(O)={\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\sigma }(O)}{\mathrm{d}t}|}_{R_0}={\omega }^2\left(D{\overrightarrow{x}}_1-E{\overrightarrow{y}}_1\right),$$ de norme ${\omega }^2\sqrt{D^2+E^2}=1,357\times 10^4\times 3,61\times 10^{-4}=4,89\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Les deux vecteurs sont fixes dans $R_1$, donc tournants dans $R_0$, à $18,5\mathrm{Hz}$ : le véhicule subit des efforts alternatifs.

2) Les actions des paliers : le moment domine. On note $X_A{\overrightarrow{x}}_1+Y_A{\overrightarrow{y}}_1$ et $X_B{\overrightarrow{x}}_1+Y_B{\overrightarrow{y}}_1$ les efforts radiaux dynamiques (aucun effort axial dynamique). Le théorème de la résultante donne $X_A+X_B=-m{\omega }^2{x}_G$ et $Y_A+Y_B=0$. En $O$, $z_A\overrightarrow{z}\wedge (X_A{\overrightarrow{x}}_1+Y_A{\overrightarrow{y}}_1)=z_A(X_A{\overrightarrow{y}}_1-Y_A{\overrightarrow{x}}_1)$, et le théorème du moment dynamique donne $-z_A{Y}_A-z_B{Y}_B=D{\omega }^2$ et $z_A{X}_A+z_B{X}_B=-E{\omega }^2$. Deux systèmes $2\times 2$ : $$\{\begin{array}{l}{X}_A+X_B=-35,8\mathrm{N}\\ 0,02X_A+0,08X_B=4,07\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\end{array}\{\begin{array}{l}{Y}_A+Y_B=0\\ 0,02Y_A+0,08Y_B=2,71\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}\end{array}$$ d'où $X_A=-115,6\mathrm{N}$, $X_B=79,8\mathrm{N}$, $Y_A=-45,2\mathrm{N}$, $Y_B=45,2\mathrm{N}$, soit $\Vert {\overrightarrow{F}}_A\Vert =124\mathrm{N}$ et $\Vert {\overrightarrow{F}}_B\Vert =92\mathrm{N}$, tournants. C'est $3\%$ de la charge statique ($1500\times 9,81/4=3,7\mathrm{kN}$) : peu pour les roulements, mais ces efforts alternent à $18,5\mathrm{Hz}$, une fréquence voisine des résonances de la suspension et de la direction, d'où la vibration du volant entre $100$ et $130km/h$. Le moment l'emporte : $4,9\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ sur les $6\mathrm{cm}$ qui séparent les roulements, c'est un couple de forces d'environ $80\mathrm{N}$, contre $36\mathrm{N}$ pour le décentrage.

3) Le résultat. Condition nécessaire. Si les actions dynamiques sont nulles pour tout $\omega$, la résultante dynamique et le moment dynamique le sont : $m{\omega }^2{x}_G=m{\omega }^2{y}_G=0$ et ${\omega }^{2}D={\omega }^{2}E=0$, donc $x_G=y_G=0$ et $D=E=0$. Condition suffisante. Si $x_G=y_G=0$ et $D=E=0$, le torseur dynamique est nul à toute vitesse, et le système ci-dessus, inversible puisque $z_A\ne z_B$, a pour unique solution des efforts nuls. Interprétation : $x_G=y_G=0$, le centre d'inertie est sur l'axe (équilibrage statique) ; $D=E=0$, l'axe $\overrightarrow{z}$ est axe principal d'inertie en $O$, et comme $G$ est sur l'axe, les produits $D$ et $E$ sont les mêmes en $G$ (théorème de Huygens) : l'axe de rotation est un axe principal central d'inertie (équilibrage dynamique). Les deux conditions sont indépendantes. Une roue posée sur des couteaux qui reste dans toute position où on la lâche a $G$ sur l'axe, mais peut avoir $D,E\ne 0$ : équilibrée statiquement, elle vibre en tournant. À l'inverse, un disque mince parfaitement plan, perpendiculaire à l'axe ($z=0$ en tout point, donc $D=E=0$), dont $G$ est hors de l'axe, n'a qu'un défaut statique.

4) Une masse ne suffit pas. Une masse $m^{\prime }$ au rayon $r$, du côté opposé à $G$ ($x=-r$, $y=0$), ramène $G$ sur l'axe si $m^{\prime }r=m{x}_G$ : $m^{\prime }=\frac{22\times 1,2\times 10^{-4}}{0,19}=13,9\mathrm{g}$. Elle ajoute au produit $E$ le terme $m^{\prime }(-r)z$. Posée dans le plan de $G$ ($z=0$), elle ne change ni $D$ ni $E$ : le moment dynamique reste $4,89\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Posée dans le plan extérieur : $E^{\prime }=0,30\times 10^{-3}-0,0139\times 0,19\times 0,06=0,142\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, $D$ inchangé, moment $3,33\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ : il diminue sans s'annuler. Une masse dans un plan donné offre deux paramètres (sa valeur et son angle) pour quatre équations ($x_G$, $y_G$, $D$, $E$) : il en faut deux, dans deux plans distincts. Cas limite : pour une roue étroite (moto, vélo), toute la masse est voisine d'un même plan, les produits $D$ et $E$ sont négligeables, et l'équilibrage statique, sur une seule masse, suffit.

5) Deux plans, deux systèmes linéaires. L'ensemble roue + masses doit avoir son centre d'inertie sur l'axe et des produits $D$, $E$ nuls : $$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z_1& z_2\end{array}\right)}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-m{x}_G\\ -E\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ z_1& z_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-m{y}_G\\ -D\end{array}\right).$$ La matrice est inversible dès que $z_1\ne z_2$ : deux plans distincts suffisent toujours. Résolution (à la main ou par une bibliothèque de calcul) : $u_1=1,18\times 10^{-3}$, $u_2=-3,82\times 10^{-3}$, $v_1=1,67\times 10^{-3}$, $v_2=-1,67\times 10^{-3}$ (en $\mathrm{kg}\mathrm{m}$). Chaque masse vaut $m_i=\frac{\sqrt{u_i^2+v_i^2}}{r}$, à l'angle $\arctan \left(v_i/u_i\right)$ pris dans le bon quadrant : $$m_1=10,7\mathrm{g}\text{aˋ}54,7^{\circ }\text{(plan inteˊrieur)},m_2=21,9\mathrm{g}\text{aˋ}-156,4^{\circ }\text{(plan exteˊrieur)}.$$ Arrondies à $10\mathrm{g}$ et $20\mathrm{g}$ aux mêmes angles, elles laissent des balourds résiduels de $0,75\mathrm{g}$ et $1,94\mathrm{g}$ : conforme à l'exigence de $5\mathrm{g}$ par plan.

Les deux masses ne sont pas du même côté : la masse extérieure, plus lourde, est presque opposée à $G$ (elle corrige surtout le décentrage), la masse intérieure, décalée, forme avec elle un couple qui annule $D$ et $E$.

6) Validation et limites. Un balourd résiduel de $5\mathrm{g}$ au rayon $r$ produit un effort tournant $5\times 10^{-3}\times 0,19{\omega }^2=12,9\mathrm{N}$ à $130km/h$, et $30,5\mathrm{N}$ à $200km/h$ : l'effort croît comme ${\omega }^2$, la tolérance d'atelier reste un ordre de grandeur sous le défaut initial. En revanche, les équations d'équilibrage sont homogènes en ${\omega }^2$ : $\omega$ s'élimine, les masses calculées ne dépendent pas de la vitesse. Une roue équilibrée l'est donc à toute vitesse, et l'équilibreuse peut mesurer lentement : à $200tr/min$, les efforts sont ${\left(1112/200\right)}^2=31$ fois plus faibles (le balourd initial de $35,8\mathrm{N}$ n'y donne que $1,2\mathrm{N}$), ce que mesurent sans peine des capteurs piézoélectriques, et la rotation est sans danger. Homogénéité : $m{\omega }^2{x}_G$ en $\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{m}$, des newtons ; ${\omega }^{2}D$ en ${\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, des $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$. Limites du modèle du solide indéformable : le pneu se déforme et sa raideur n'est pas uniforme sur son tour, défaut que des masses ne corrigent pas ; l'usure et la perte d'une masse déséquilibrent à nouveau la roue : on rééquilibre.

Le résultat obtenu — la condition d'équilibrage dynamique d'un rotor. Un solide en rotation uniforme autour d'un axe fixe n'exerce sur ses paliers aucune action tournante, à toute vitesse, si et seulement si son centre d'inertie est sur l'axe (équilibrage statique) et si l'axe de rotation est axe principal d'inertie (produits $D=E=0$ : équilibrage dynamique), c'est-à-dire si l'axe de rotation est un axe principal central d'inertie. Deux masses placées dans deux plans distincts suffisent toujours à réaliser les deux conditions, et les masses ne dépendent pas de la vitesse.

Ce que le problème installe. Le torseur dynamique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : sa composante axiale donne le couple, ses composantes perpendiculaires, portées par les produits d'inertie, chargent les paliers et tournent avec le solide. Le principe fondamental, écrit en entier (résultante et moment), transforme une exigence de confort en conditions sur la géométrie des masses, et un système linéaire $A\cdot X=B$ en donne la réalisation pratique, conclue sur l'exigence d'atelier.