Compresseur à piston : l'inertie qui change avec l'angle, et le volant qui la lisse

La stratégie. On écrit l'énergie cinétique avec la seule vitesse $\dot{\theta }$ : l'inertie équivalente dépend de $\theta$. Le TEC, dérivé avec soin, fait apparaître un terme en ${\dot{\theta }}^2$ ; à vitesse imposée, c'est un couple ; à énergie constante, c'est une fluctuation de vitesse.

1) L'inertie équivalente. Le vilebrequin tourne autour d'un axe fixe, le piston translate, la bielle est sans masse : $$E_c=\frac{1}{2}{J}_v{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}{m}_p{\dot{x}}_B^2=\frac{1}{2}\left(J_v+m_p{r}^{2}g(\theta {)}^2\right){\dot{\theta }}^2,J_{\text{eˊq}}(\theta )=J_v+m_p{r}^{2}g(\theta {)}^2.$$ $g$ s'annule aux points morts ($\theta =0$ et $\pi$), où le piston est arrêté ; $g^2$ est maximal, $1,063$, pour $\theta \approx 76,7^{\circ }$ (et $283,3^{\circ }$) : un peu avant la position où la manivelle est perpendiculaire à l'axe, à cause de l'obliquité de la bielle. Le piston pèse alors, vu du vilebrequin, $m_p{r}^2{g}^2=5,74\times 10^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$.

2) L'équation du mouvement. Le TEC sur l'ensemble (liaisons parfaites) s'écrit $\frac{\mathrm{d}{E}_c}{\mathrm{d}t}=C_{\text{eˊq}}\dot{\theta }$, où $C_{\text{eˊq}}\dot{\theta }$ regroupe la puissance du couple moteur et celle de la pression sur le piston. Or $E_c=\frac{1}{2}{J}_{\text{eˊq}}(\theta (t)){\dot{\theta }}^2$, et la dérivée d'une fonction composée donne $\frac{\mathrm{d}{J}_{\text{eˊq}}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{J}_{\text{eˊq}}}{\mathrm{d}\theta }\dot{\theta }$ : $$\frac{\mathrm{d}{E}_c}{\mathrm{d}t}=J_{\text{eˊq}}\dot{\theta }\ddot{\theta }+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{J}_{\text{eˊq}}}{\mathrm{d}\theta }{\dot{\theta }}^3=C_{\text{eˊq}}\dot{\theta }.$$ En divisant par $\dot{\theta }\ne 0$, on obtient l'équation annoncée. Dans un réducteur à engrenages, le rapport est constant, $J_{\text{eˊq}}$ aussi, et le second terme disparaît : c'est la non-linéarité de la loi entrée-sortie qui le crée.

3) Le couple d'inertie. À $\dot{\theta }=\omega$ constant ($\ddot{\theta }=0$), il faut fournir, en plus du couple résistant, $$C_{\text{in}}(\theta )=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{J}_{\text{eˊq}}}{\mathrm{d}\theta }{\omega }^2=m_p{r}^2{\omega }^{2}g(\theta )g^{\prime }(\theta ).$$ Avec $\omega =151,8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $m_p{r}^2{\omega }^2=12,45\mathrm{N}\mathrm{m}$ : $C_{\text{in}}$ oscille entre $\pm 7,85\mathrm{N}\mathrm{m}$, de moyenne nulle sur un tour (dérivée d'une fonction périodique). Le couple moyen du moteur vaut $\frac{2200}{151,8}=14,5\mathrm{N}\mathrm{m}$ : animer le piston impose un couple alterné de $54\%$ du couple moyen. Le rang $2$ domine ($6,23\mathrm{N}\mathrm{m}$), avec un rang $3$ notable ($2,39$) et un rang $1$ faible ($0,79$), dus à l'obliquité de la bielle. Cas limite $\lambda \to 0$ : $g=\sin \theta$, $C_{\text{in}}=\frac{1}{2}{m}_p{r}^2{\omega }^2\sin 2\theta$, rang $2$ pur d'amplitude $6,23\mathrm{N}\mathrm{m}$ : le terme dominant.

4) Le volant. Si $C_{\text{eˊq}}=0$ à chaque instant, le TEC donne $\frac{\mathrm{d}{E}_c}{\mathrm{d}t}=0$ : $\frac{1}{2}{J}_{\text{eˊq}}(\theta ){\dot{\theta }}^2$ est constant. La vitesse est maximale quand $J_{\text{eˊq}}$ est minimal ($J_v$, aux points morts) et minimale quand il est maximal ($J_v+\Delta J$, avec $\Delta J=m_p{r}^2{g}_{\max }^2=5,74\times 10^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$) : $\frac{{\omega }_{\max }^2}{{\omega }_{\min }^2}=\frac{J_v+\Delta J}{J_v}$. Pour de petites fluctuations, en notant $\bar{J}=J_v+\Delta J/2$, $$\delta =\frac{{\omega }_{\max }-{\omega }_{\min }}{{\omega }_{\text{moy}}}\approx \frac{1}{2}\frac{{\omega }_{\max }^2-{\omega }_{\min }^2}{{\omega }_{\text{moy}}^2}\approx \frac{\Delta J}{2\bar{J}}.$$ $\delta \le 1\%$ impose $\bar{J}\ge \frac{\Delta J}{0,02}=0,0287\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, soit $J_v\ge 0,0284\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ (le calcul exact, sans approximation, donne la même valeur). Le rotor d'un moteur de cette puissance a quelques millièmes de $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$ : il faut un volant. Et ce n'est que l'effet de l'inertie variable : le couple de compression, concentré sur un demi-tour, en exige davantage.

Ce que l'exercice installe. Quand la loi entrée-sortie n'est pas linéaire, l'inertie équivalente dépend de la position, et le TEC donne $J_{\text{eˊq}}\ddot{\theta }+\frac{1}{2}{J}_{\text{eˊq}}^{\prime }{\dot{\theta }}^2=C_{\text{eˊq}}$ (dérivée d'une fonction composée). Le terme en ${\dot{\theta }}^2$ est un couple alterné à vitesse imposée, une fluctuation de vitesse à énergie constante ; un volant d'inertie la réduit, dans le rapport $\Delta J/2\bar{J}$.