Couple thermique équivalent : la machine de l'ascenseur chauffe-t-elle ?

• $C_{th}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{C}_m^2\mathrm{d}t}$, valeur efficace du couple sur le cycle ; pour des phases à couple constant, $C_{th}^2=\frac{1}{T}{\sum }_k{C}_k^2{t}_k$. La machine est commandée en couple, $C_m=K_{t}I$ : ses pertes Joule $R{I}^2$ sont proportionnelles à $C_m^2$. Sa constante de temps thermique (de l'ordre de la dizaine de minutes) est grande devant le cycle (moins d'une minute) : sa température suit la moyenne des pertes, $\propto C_{th}^2$. Le couple permanent est celui que la machine supporte sans limite de durée : le critère est $C_{th}\le 1000\mathrm{Nm}$. Le couple moyen ne convient pas : il compense les phases motrices et génératrices (un couple de $+C$ puis de $-C$ a une moyenne nulle mais chauffe autant qu'un couple $C$ permanent), et il sous-estime les pointes, dont les pertes croissent comme le carré.
• Montée à pleine charge : $\sum C_k^2{t}_k=1640,9^2\times 2+923,3^2\times 16,75+205,6^2\times 2=(5,385+14,279+0,085)\cdot 10^6=19,75\times 10^6{\mathrm{N}}^2{\mathrm{m}}^2\mathrm{s}$, d'où

$$C_{th}=\sqrt{\frac{19,75\cdot 10^6}{20,75}}=975,6\mathrm{Nm},$$

marge de $2,4\%$ seulement : c'est plus que le couple de palier ($923,3\mathrm{Nm}$), à cause de la pointe d'accélération, dont le carré pèse lourd. Les quatre trajets ont la même durée ; pour un service sans arrêt, $C_{th}^2$ est donc la moyenne des $C_{th}^2$ des trajets. Ceux-ci valent $975,6$ (montée pleine), $706,4$ (descente pleine), $692,2$ (montée à vide) et $956,3\mathrm{Nm}$ (descente à vide) : aucun service sans arrêt ne dépasse $975,6\mathrm{Nm}$. C'est une borne, que la physique n'atteint d'ailleurs pas : la cabine qui monte doit redescendre.

• Aller à pleine charge et retour à vide : le retour à vide est une descente, à couple négatif de valeur absolue comparable ; $\sum C_k^2{t}_k=(19,75+18,98)\cdot 10^6=38,72\times 10^6{\mathrm{N}}^2{\mathrm{m}}^2\mathrm{s}$ :

$$C_{th}=\sqrt{\frac{38,72\cdot 10^6}{41,5}}=966,0\mathrm{Nm}\text{sans arreˆt (marge 3,4\%)};$$

avec deux arrêts de $10\mathrm{s}$, le cycle dure $61,5\mathrm{s}$ et $C_{th}=\sqrt{38,72\cdot 10^6/61,5}=793,5\mathrm{Nm}$ (marge $21\%$). Cycle des quatre trajets : $\sum C_k^2{t}_k=59,02\times 10^6{\mathrm{N}}^2{\mathrm{m}}^2\mathrm{s}$, $C_{th}=843,3\mathrm{Nm}$ sans arrêt sur $83\mathrm{s}$, $692,7\mathrm{Nm}$ avec quatre arrêts de $10\mathrm{s}$ sur $123\mathrm{s}$.

• Les trois vérifications : couple maximal $1640,9\le 1700$ (marge $3,5\%$) ; couple thermique $\le 975,6\mathrm{Nm}$ dans le pire service sans arrêt, $\le 1000$ (marge $2,4\%$), et $793,5\mathrm{Nm}$ (marge $21\%$) dès qu'il y a $10\mathrm{s}$ d'arrêt aux étages ; vitesse $V/R=8\mathrm{rad}/\mathrm{s}=76,4\mathrm{tr}/\min \le 80$. La machine convient, avec une marge thermique faible en trafic intense (heures de pointe d'un immeuble de bureaux, où les arrêts sont brefs) : c'est le critère thermique qui serait le premier dépassé si l'on augmentait la charge nominale. Comparer le seul couple de palier ($923,3\mathrm{Nm}$, marge $7,7\%$) au couple permanent revient à oublier les pointes d'accélération : la marge réelle, en service continu, est trois fois plus faible. Le couple maximal et le couple thermique sont deux critères distincts, à vérifier tous deux : le premier porte sur un instant, le second sur tout le cycle.