Équation du pendule par le TEC

Rotation autour de l'axe fixe $(O,{\overrightarrow{z}}_0)$ : $E_c=\frac{1}{2}{J}_O{\dot{\theta }}^2=\frac{1}{6}m{L}^2{\dot{\theta }}^2$, avec $J_O=\frac{1}{3}m{L}^2$ (donné). Puissance du poids : $\mathcal{P}=mg{\overrightarrow{x}}_0\cdot \overrightarrow{V}(G/R_0)=mg{\overrightarrow{x}}_0\cdot \left(\frac{L}{2}\dot{\theta }{\overrightarrow{y}}_1\right)=-mg\frac{L}{2}\dot{\theta }\sin \theta$, car ${\overrightarrow{x}}_0\cdot {\overrightarrow{y}}_1=-\sin \theta$. Liaison pivot parfaite : puissance nulle. TEC : $\frac{1}{3}m{L}^2\dot{\theta }\ddot{\theta }=-mg\frac{L}{2}\dot{\theta }\sin \theta$, et, en simplifiant par $\dot{\theta }$ (le résultat, continu, vaut aussi aux instants où $\dot{\theta }=0$) : $\ddot{\theta }+\frac{3g}{2L}\sin \theta =0$. Pour de petites oscillations, la pulsation vaut $\sqrt{3g/2L}$ : celle d'un pendule simple de longueur $\frac{2}{3}L$.