sciences industrielles (PT) · Chapitre 4 · Application directe du cours

Inertie d'un réducteur épicycloïdal vue de son arbre d'entrée

Puissances et Théorèmes Énergétiques · niveau 2

Énoncé

Un servomoteur entraîne une charge par un réducteur épicycloïdal à un étage : le planétaire $p$ (rayon primitif $r_{p} = 10 mm$ ) est lié à l'arbre moteur ; trois satellites $s$ identiques (rayon primitif $r_{s} = 15 mm$ ) sont en liaison pivot avec le porte-satellites $p s$ , qui est l'arbre de sortie ; la couronne $c$ (denture intérieure, $r_{c} = 40 mm$ ) est fixe. Les contacts planétaire-satellite et satellite-couronne roulent sans glisser. Données (roues pleines en acier de $20 mm$ de large) : planétaire $J_{p} = 2, 47 \times 1 0^{- 6} kg □ m$ ; chaque satellite $m_{s} = 111, 0 g$ et $J_{s} = 1, 25 \times 1 0^{- 5} kg □ m$ autour de son axe ; porte-satellites $J_{p s} = 2, 0 \times 1 0^{- 4} kg □ m$ autour de l'axe du train. On note $ω_{p} = ω_{p /0}$ .

Exprimer $ω_{p s /0}$ , $ω_{s /0}$ et $ω_{s / p s}$ en fonction de $ω_{p}$ . Vérifier par la relation de Willis.
Calculer l'inertie équivalente $J_{e ˊ q}$ du réducteur ramenée à l'arbre d'entrée, et la part de chaque terme.
Quelle erreur commet-on en prenant, dans le terme de rotation des satellites, la vitesse $ω_{s / p s}$ lue sur le porte-satellites ? Et en négligeant la rotation propre des satellites ?
Le servomoteur ( $J_{m} = 1, 2 \times 1 0^{- 4} kg □ m$ ) entraîne une charge $J_{c} = 4, 0 \times 1 0^{- 3} kg □ m$ liée au porte-satellites. Calculer l'inertie totale ramenée à l'arbre moteur et la part du réducteur. Quelle inertie de charge réaliserait l'adaptation d'inertie ?

Corrigé

L'entraxe vaut $a = r_{p} + r_{s} = r_{c} - r_{s} = 25 mm$ . On travaille dans le plan du train, $e_{θ}$ étant la direction orthoradiale au centre $O_{s}$ d'un satellite. Le centre $O_{s}$ , lié au porte-satellites, a la vitesse $V (O_{s} /0) = a ω_{p s /0} e_{θ}$ . Contact satellite-couronne en $I$ , à la distance $r_{c}$ de l'axe : la couronne est fixe, donc $V (I \in s /0) = 0$ , et $V (O_{s} /0) = V (I \in s /0) + ω_{s /0} z \land I O_{s} = - r_{s} ω_{s /0} e_{θ}$ . D'où $ω_{s /0} = - \frac{a}{r _{s}} ω_{p s /0}$ . Contact planétaire-satellite en $J$ , à la distance $r_{p}$ de l'axe : $V (J \in s /0) = V (O_{s} /0) - r_{s} ω_{s /0} e_{θ} = 2 a ω_{p s /0} e_{θ}$ , égale à $V (J \in p /0) = r_{p} ω_{p} e_{θ}$ . Donc

$ω_{p s /0} = \frac{r _{p}}{2 a} ω_{p} = \frac{r _{p}}{r _{p} + r _{c}} ω_{p} = \frac{ω _{p}}{5}, ω_{s /0} = - \frac{a}{r _{s}} \cdot \frac{ω _{p}}{5} = - \frac{ω _{p}}{3},$

$ω_{s / p s} = ω_{s /0} - ω_{p s /0} = - \frac{8}{15} ω_{p} = - 0, 533 ω_{p} .$

Willis (les rayons primitifs sont proportionnels aux nombres de dents) : $\frac{ω _{p} - ω _{p s /0}}{0 - ω _{p s /0}} = - \frac{r _{c}}{r _{p}} = - 4$ donne $ω_{p} = 5 ω_{p s /0}$ ; et, vu du porte-satellites, $ω_{s / p s} = - \frac{r _{p}}{r _{s}} (ω_{p} - ω_{p s /0}) = - \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} ω_{p} = - \frac{8}{15} ω_{p}$ . Tout concorde.

Additivité, puis Koenig pour chaque satellite (axe de rotation de direction fixe, principal) :

$E_{c} = \frac{1}{2} J_{p} ω_{p}^{2} + \frac{1}{2} J_{p s} ω_{p s /0}^{2} + 3 (\frac{1}{2} m_{s} a^{2} ω_{p s /0}^{2} + \frac{1}{2} J_{s} ω_{s /0}^{2}) = \frac{1}{2} J_{e ˊ q} ω_{p}^{2},$

$J_{e ˊ q} = J_{p} + \frac{J _{p s}}{25} + 3 (\frac{m _{s} a ^{2}}{25} + \frac{J _{s}}{9}) = (2, 47 + 8, 00 + 8, 32 + 4, 16) \cdot 1 0^{- 6} kg □ m,$

soit $J_{e ˊ q} = 2, 30 \times 1 0^{- 5} kg □ m$ . Parts : planétaire $11 %$ , porte-satellites $35 %$ , translation des satellites $36 %$ , rotation propre des satellites $18 %$ . Le signe de $ω_{s /0}$ n'intervient pas : l'énergie pondère chaque inertie par le carré du rapport des vitesses (le moment cinétique, lui, la pondère par le rapport lui-même, signe compris).

Avec $ω_{s / p s}$ , le terme de rotation devient $3 J_{s} (\frac{8}{15})^{2} = 0, 853 J_{s}$ au lieu de $3 J_{s} /9 = 0, 333 J_{s}$ : $J_{e ˊ q} = 2, 94 \times 1 0^{- 5} kg □ m$ , $28 %$ de trop. C'est l'erreur classique : le théorème de Koenig s'écrit dans $R_{0}$ , avec la rotation du satellite par rapport à $R_{0}$ . En négligeant la rotation propre (satellites ponctuels), $J_{e ˊ q} = 1, 88 \times 1 0^{- 5} kg □ m$ , $18 %$ de moins.
La charge, liée au porte-satellites, est ramenée divisée par $5^{2}$ : $J_{c} /25 = 1, 60 \times 1 0^{- 4} kg □ m$ . Inertie totale vue du moteur :

$J_{tot} = J_{m} + J_{e ˊ q} + \frac{J _{c}}{25} = (1, 20 + 0, 23 + 1, 60) \cdot 1 0^{- 4} = 3, 03 \times 1 0^{- 4} kg □ m .$

Le réducteur en représente $7, 6 %$ , soit $19 %$ de l'inertie du rotor : il n'est pas négligeable devant le moteur. L'adaptation d'inertie ( $J_{c} / r^{2} = J_{m}$ ) demanderait $J_{c} = 25 J_{m} = 3, 0 \times 1 0^{- 3} kg □ m$ ; pour la charge réelle, le rapport adapté serait $J_{c} / J_{m} = 5, 8$ : le rapport 5 en est proche.

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