sciences industrielles (PT) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Problème : ascenseur à traction, dimensionner la machine par le théorème de l'énergie cinétique

Puissances et Théorèmes Énergétiques · D. Modélisation par grandeurs équivalentes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un ascenseur à traction dessert un immeuble de dix niveaux (course $H = 30 m$ ). Sa machine est sans réducteur : la poulie de traction, de rayon $R = 0, 20 m$ , est montée directement sur le rotor d'un moteur synchrone à aimants. Suspension 1:1 : les câbles passent sur la poulie, la cabine d'un côté, le contrepoids de l'autre ; ils ne glissent pas dans les gorges. Données : cabine $M_{c} = 1200 kg$ ; charge nominale $m_{u} = 800 kg$ (dix personnes) ; contrepoids de masse $M_{c p}$ à choisir ; rotor et poulie, $J_{m} = 10 kg m^{2}$ ; vitesse nominale $V = 1, 6 m s^{- 1}$ ; accélération et décélération $a = 0, 8 m s^{- 2}$ ; câbles de masse négligée. On note $m \in [0, m_{u}]$ la charge transportée et $θ$ l'angle de la poulie, $θ ˙ > 0$ quand la cabine monte.

Les pertes (paliers, flexion des câbles, coulisseaux de guidage) sont représentées par un rendement global $η = 0, 85$ de la transmission entre l'arbre de la machine et {cabine, contrepoids}, mesuré en régime permanent (montée à pleine charge à $V$ ). Hypothèse déclarée : on l'applique aussi en régime transitoire et dans les deux sens : la charge reçoit $η$ fois la puissance que la machine lui fournit ; la machine reçoit $η$ fois la puissance que la charge lui cède.

Cahier des charges. Id 1 : trajet complet de $30 m$ en moins de $23 s$ . Id 2 : accélération au plus $1, 0 m s^{- 2}$ (confort). Id 3 : machine du catalogue, couple maximal $1700 N m$ , couple en régime permanent $1000 N m$ , vitesse maximale $80 tr/min$ .

1) Le contrepoids. Décrire le graphe de structure. On isole $E = {$ rotor et poulie, câbles, cabine et charge, contrepoids $}$ : pourquoi le TEC plutôt que le PFD, et pourquoi les actions de la pivot et des guides n'y figurent-elles pas ? Exprimer le couple statique $C_{stat} (m)$ (couple pour monter la charge $m$ à vitesse constante, sans pertes). Montrer que le maximum de $∣ C_{stat} ∣$ sur $[0, m_{u}]$ est minimal pour $M_{c p} = M_{c} + m_{u} /2$ ; comparer au cas sans contrepoids.

2) Inertie équivalente. Exprimer et calculer $J_{e ˊ q}$ ramenée à l'arbre de la machine, à pleine charge, à vide et sans contrepoids. Quelle est la masse équivalente ramenée à la cabine, et quelle part y prend le rotor ?

3) Loi de mouvement. Le profil de vitesse est trapézoïdal. Calculer la durée des rampes, la distance qu'elles couvrent et la durée du trajet. Conclure sur Id 1 et Id 2.

4) Couple moteur par le TEC. On note $J_{ch} = (M_{c} + m + M_{c p}) R^{2}$ et $C_{ch} = C_{stat} + J_{ch} θ ¨$ le couple que demande la charge. Établir, avec l'hypothèse sur le rendement, $C_{m} = J_{m} θ ¨ + C_{ch} / η$ quand la machine fournit de la puissance à la charge ( $C_{ch} θ ˙ > 0$ ), et $C_{m} = J_{m} θ ¨ + η C_{ch}$ dans le cas contraire. Calculer le couple dans chaque phase d'une montée à pleine charge, puis en accélération d'une descente à vide. Quel est le cas dimensionnant ? Conclure sur Id 3. Vérifier le résultat par le principe fondamental de la dynamique appliqué à la cabine et au contrepoids : que donne-t-il de plus ?

5) Énergie et récupération. Énergie fournie pour une montée à pleine charge, comparée à l'énergie potentielle gagnée. En descente à pleine charge (régime générateur) : couples, puissances, fraction de l'énergie potentielle récupérée. Que deviendrait cette fraction si les pertes étaient un couple de frottement constant $C_{f}$ (déduit de $η$ en régime permanent) ? Et pour $η \leq \frac{1}{2}$ ? Commenter l'hypothèse.

6) Cas limites et variantes. Couple maximal sans contrepoids ? Suspension 2:1 (mouflage : la cabine va deux fois moins vite que le câble) : $J_{e ˊ q}$ , couple maximal, vitesse, puissance crête ; conclure. Six câbles réels de $0, 22 kg m^{- 1}$ : quel déséquilibre sur la course ?

Corrigé

La stratégie. Un seul degré de liberté, des efforts connus (pesanteur, machine) et une loi de mouvement imposée : c'est le terrain du TEC. On choisit d'abord le contrepoids sur le couple statique, puis l'on ramène toutes les inerties à l'arbre, et l'on écrit le TEC phase par phase, en plaçant le rendement du bon côté selon le sens du transfert d'énergie.

1) Graphe de structure, isolement, contrepoids. Le bâti 0 porte la machine 1 (pivot) et guide la cabine 2 et le contrepoids 3 (deux glissières) ; les câbles, inextensibles et sans glissement, lient la poulie aux deux masses. Un seul paramètre $θ$ : la cabine monte et le contrepoids descend à $R θ ˙$ . On cherche un couple moteur pour une loi de mouvement donnée : le TEC répond en une équation, là où le PFD isolerait trois solides et ferait intervenir les tensions et les actions des guides. Ces actions de liaison ont une puissance nulle dans le modèle parfait ; leurs pertes réelles sont toutes dans $η$ . À vitesse constante, sans pertes : $C_{stat} θ ˙ - (M_{c} + m) g R θ ˙ + M_{c p} g R θ ˙ = 0 ⟹ C_{stat} (m) = (M_{c} + m - M_{c p}) g R .$ $C_{stat}$ est affine en $m$ : sur $[0, m_{u}]$ , $∣ C_{stat} ∣$ est maximal à une extrémité, et $max (∣ M_{c} - M_{c p} ∣, ∣ M_{c} + m_{u} - M_{c p} ∣)$ est minimal quand les deux sont égaux, soit $M_{c p} = M_{c} + \frac{m _{u}}{2} = 1600 kg$ . Alors $∣ C_{stat} ∣_{m a x} = \frac{m _{u}}{2} g R = 400 \times 9, 81 \times 0, 20 = 785 N m$ , atteint cabine pleine qui monte (ou vide qui descend : c'est le contrepoids, plus lourd, que la machine soulève). Sans contrepoids : $(M_{c} + m_{u}) g R = 3924 N m$ . Le contrepoids divise le couple statique maximal par 5 ; à demi-charge, la cabine est exactement équilibrée.

2) Inertie et masse équivalentes. La poulie tourne autour d'un axe fixe, la cabine et le contrepoids translatent à $R θ ˙$ : $E_{c} (E / R_{0}) = \frac{1}{2} J_{m} θ ˙^{2} + \frac{1}{2} (M_{c} + m) R^{2} θ ˙^{2} + \frac{1}{2} M_{c p} R^{2} θ ˙^{2}, J_{e ˊ q} = J_{m} + (M_{c} + m + M_{c p}) R^{2} .$ Pleine charge : $10 + 3600 \times 0, 04 = 154 kg m^{2}$ ; à vide : $122 kg m^{2}$ ; sans contrepoids (pleine charge) : $90 kg m^{2}$ . Le contrepoids multiplie l'inertie par 1,71 : c'est le prix de la division du couple statique. Ramenée à la cabine, $M_{e ˊ q} = J_{e ˊ q} / R^{2} = 3850 kg$ à pleine charge, dont $J_{m} / R^{2} = 250 kg$ pour le rotor : $6, 5 %$ . Dans une machine sans réducteur, l'inertie du moteur ne compte presque pas.

3) Loi de mouvement. Rampe : $t_{a} = V / a = 2 s$ , sur $\frac{V ^{2}}{2 a} = 1, 6 m$ ; palier : $\frac{30 - 3 , 2}{1 , 6} = 16, 75 s$ ; trajet $20, 75 s \leq 23 s$ : Id 1 satisfaite (marge $10 %$ , utile car la secousse et l'approche lente, non modélisées, allongent le trajet) ; Id 2 satisfaite ( $0, 8 \leq 1, 0 m s^{- 2}$ ).

4) Le couple moteur. La forme du TEC. La charge {cabine, contrepoids}, d'énergie cinétique $\frac{1}{2} J_{ch} θ ˙^{2}$ , soumise à la pesanteur (puissance $- C_{stat} θ ˙$ ), doit recevoir des câbles $P_{ch} = (C_{stat} + J_{ch} θ ¨) θ ˙ = C_{ch} θ ˙$ . Si $P_{ch} > 0$ , l'arbre doit fournir $P_{ch} / η$ , et le TEC sur le rotor, $J_{m} θ ˙ θ ¨ = C_{m} θ ˙ - P_{ch} / η$ , donne $C_{m} = J_{m} θ ¨ + \frac{C _{ch}}{η} (C_{ch} θ ˙ > 0), C_{m} = J_{m} θ ¨ + η C_{ch} (C_{ch} θ ˙ < 0),$ la seconde forme venant de ce que l'arbre ne reçoit alors que $η$ fois la puissance cédée par la charge. Sans pertes ( $η = 1$ ), on retrouve $J_{e ˊ q} θ ¨ = C_{m} - C_{stat}$ : couple moteur = couple statique + couple d'inertie, plus les pertes.

Montée à pleine charge ( $C_{stat} = 784, 8 N m$ , $J_{ch} = 144 kg m^{2}$ , $θ ¨ = \pm a / R = \pm 4 rad s^{- 2}$ , $J_{m} θ ¨ = \pm 40 N m$ , $J_{ch} θ ¨ = \pm 576 N m$ ) :

Phase	$C_{ch}$ (N m)	régime	$C_{m}$ (N m)	$C_{m} θ ˙$ (kW)
accélération	$784, 8 + 576 = 1360, 8$	moteur	$40 + 1360, 8/0, 85 = 1641$	$13, 1$
palier	$784, 8$	moteur	$784, 8/0, 85 = 923$	$7, 4$
décélération	$784, 8 - 576 = 208, 8$	moteur	$- 40 + 208, 8/0, 85 = 206$	$1, 6$

Descente à vide, accélération : $C_{stat} = (1200 - 1600) \times 9, 81 \times 0, 20 = - 784, 8 N m$ , $J_{ch} = 112 kg m^{2}$ , $θ ¨ = - 4 rad s^{- 2}$ : $C_{ch} = - 784, 8 - 448 = - 1232, 8 N m$ , de même signe que $θ ˙ < 0$ , régime moteur : $∣ C_{m} ∣ = 40 + 1232, 8/0, 85 = 1490 N m$ .

Le cas dimensionnant est la montée à pleine charge en accélération : $1641 N m$ , à $ω = V / R = 8 rad s^{- 1} = 76, 4 tr/min$ , puissance crête $13, 1 kW$ . Id 3 : couple maximal $1641 \leq 1700 N m$ (marge $3, 5 %$ ), couple permanent $923 \leq 1000 N m$ (marge $8 %$ ), vitesse $76, 4 \leq 80 tr/min$ (marge $4, 5 %$ ) : satisfaite, de justesse sur le couple maximal. Et la conclusion croise deux exigences : $C_{m} (a) = 923 + 897 a$ (avec $a$ en $m s^{- 2}$ ) atteint $1700 N m$ pour $a = 0, 87 m s^{- 2}$ ; Id 2 autoriserait $1, 0 m s^{- 2}$ , mais c'est Id 3 qui limite l'accélération.

Vérification par le PFD. Cabine : $T_{1} = (M_{c} + m_{u}) (g + a) = 21220 N$ ; contrepoids : $T_{2} = M_{c p} (g - a) = 14416 N$ ; $(T_{1} - T_{2}) R = 1360, 8 N m = C_{ch}$ , et $J_{m} θ ¨ + (T_{1} - T_{2}) R / η = 1641 N m$ : même résultat. Le PFD donne en plus les tensions, dont le rapport $1, 47$ doit passer par adhérence dans les gorges : le TEC ne pouvait pas le dire.

5) Énergie et récupération. Montée à pleine charge : $8 rad$ par rampe, $134 rad$ en palier, $W = 1641 \times 8 + 923, 3 \times 134 + 205, 6 \times 8 \approx 138, 5 kJ$ pour $400 \times 9, 81 \times 30 = 117, 7 kJ$ d'énergie potentielle : rapport $0, 85$ exactement, l'énergie cinétique du départ étant rendue à l'arrivée. Descente à pleine charge ( $θ ˙ < 0$ , $C_{stat} = + 784, 8$ ) : la charge entraîne la machine dans les trois phases ; $C_{m} = - 40 + 0, 85 \times 208, 8 = 138 N m$ en accélération, $0, 85 \times 784, 8 = 667 N m$ au palier ( $5, 3 kW$ renvoyés), $40 + 0, 85 \times 1360, 8 = 1197 N m$ au freinage ( $9, 6 kW$ ). Sur le trajet, $100, 1 kJ$ reviennent à l'arbre : la fraction $η = 0, 85$ de l'énergie potentielle.

Limite de l'hypothèse. Avec un frottement constant déduit du régime permanent, $C_{f} = C_{stat} \frac{1 - η}{η} = 138, 5 N m$ , la machine recevrait au palier $C_{stat} - C_{f} = 646 N m$ , la fraction $\frac{2 η - 1}{η} = 0, 82$ ; et pour $η \leq \frac{1}{2}$ , $C_{f} \geq C_{stat}$ : la cabine chargée ne descendrait pas seule, la transmission serait irréversible, comme la vis de rendement inférieur à un demi. L'hypothèse « $η$ dans les deux sens » rend tout mécanisme réversible : légitime pour une transmission efficace (écart de $3 %$ ici), fausse pour une transmission médiocre.

6) Cas limites et variantes. Sans contrepoids : $C_{m} = 40 + \frac{3 924 + 80 \times 4}{0 , 85} \approx 5, 0 \times 1 0^{3} N m$ , trois fois plus, hors catalogue. Suspension 2:1 : $θ ˙ = 2 V / R = 16 rad s^{- 1}$ ( $153 tr/min$ ), $C_{stat}$ divisé par 2 ( $392 N m$ ), masses ramenées avec le rayon effectif $R /2$ : $J_{e ˊ q} = 10 + 3600 \times 0, 1^{2} = 46 kg m^{2}$ (le rotor y pèse $22 %$ ). En accélération ( $θ ¨ = 8 rad s^{- 2}$ ), $C_{m} = 80 + \frac{392 , 4 + 288}{0 , 85} = 880 N m$ et $14, 1 kW$ : même puissance, couple divisé par deux. Or c'est le couple qui fixe la taille d'une machine sans réducteur : d'où le 2:1 des ascenseurs sans local de machinerie (avec une autre machine, plus rapide). Câbles : $6 \times 0, 22 \times 30 = 40 kg$ passent d'un côté à l'autre sur la course, $10 %$ de $m_{u} /2$ : on les compense par une chaîne sous la cabine dans les grands immeubles.

Le résultat obtenu — dimensionnement d'une machine d'entraînement par le théorème de l'énergie cinétique. Le TEC donne le couple moteur comme somme d'un couple statique équivalent et d'un couple d'inertie, corrigée des pertes : en régime moteur, $C_{m} = J_{m} θ ¨ + \frac{C _{stat} + J _{ch} θ ¨}{η}$ , en régime générateur le rendement change de côté. Le contrepoids $M_{c p} = M_{c} + m_{u} /2$ divise ici le couple statique maximal par 5, au prix d'une inertie multipliée par 1,7 ; le cas dimensionnant est la montée à pleine charge en accélération ( $1641 N m$ ) ; en descente chargée, la machine renvoie la fraction $η$ de la puissance de pesanteur sous l'hypothèse déclarée, $(2 η - 1) / η$ avec un frottement constant, rien si $η \leq \frac{1}{2}$ .

Ce que le problème installe. La démarche du concepteur : choix de l'isolement, un paramètre de conception (le contrepoids) choisi sur le couple statique, inerties ramenées à l'arbre, TEC phase par phase avec le rendement placé du côté où arrive la puissance, puis la confrontation au cahier des charges, exigence par exigence, avec les marges. Le PFD reste nécessaire pour les efforts intérieurs ; une hypothèse de modélisation se déclare et se critique.

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