sciences industrielles (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

L'arbre de sortie d'un réducteur : la durée de vie se joue sur les efforts axiaux

Conception mécanique et transmissions de puissance · A. Guidage en rotation : montages de roulements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'arbre de sortie du réducteur d'un convoyeur tourne à $N = 400 tr mi n^{- 1}$ . Il porte une roue à denture hélicoïdale de diamètre primitif $d = 200 mm$ (angle de pression normal $α_{n} = 2 0^{\circ}$ , angle d'hélice $β = 1 5^{\circ}$ ), qui transmet $C = 600 N m$ . Il est guidé par deux roulements à rouleaux coniques $A$ et $B$ ; on donne directement la position de leurs centres de poussée : le plan médian de la roue est à $60 mm$ de $A$ et à $120 mm$ de $B$ . L'action du pignon sur la roue, au point de contact situé à $d /2$ au-dessus de l'axe, a trois composantes : $F_{t} = \frac{2 C}{d}$ (tangentielle, perpendiculaire au plan de la figure), $F_{r} = \frac{F _{t} tan α _{n}}{cos β}$ (radiale, vers l'axe) et $F_{a} = F_{t} tan β$ (axiale, dirigée vers $A$ ).

Documentation des roulements (donnée) : $e = 0, 37$ ; $P = F_{r}$ si $F_{a} / F_{r} \leq e$ , $P = 0, 4 F_{r} + 1, 6 F_{a}$ sinon ; une charge radiale $F_{r}$ crée dans le roulement un effort axial induit $F_{i} = 0, 5 F_{r} / Y$ , avec $Y = 1, 6$ ; pour deux roulements montés en opposition et un effort axial extérieur $K_{a}$ dirigé vers $A$ : si $F_{i B} + K_{a} \geq F_{i A}$ , alors $F_{a A} = F_{i B} + K_{a}$ et $F_{a B} = F_{i B}$ ; sinon $F_{a A} = F_{i A}$ et $F_{a B} = F_{i A} - K_{a}$ . Deux tailles de roulements : $C = 30 kN$ (série légère) et $C = 45 kN$ (série moyenne, plus encombrante). Exigence : $L_{10 h} \geq 20000 h$ pour chaque roulement.

1) Calculer $F_{t}$ , $F_{r}$ et $F_{a}$ .

2) Calculer les réactions radiales $R_{A}$ et $R_{B}$ en travaillant dans deux plans. Pourquoi $A$ est-il le plus chargé ?

3) L'arbre tourne : quelles bagues sont serrées, quel montage s'impose et comment le règle-t-on ? Calculer les efforts axiaux induits, puis les efforts axiaux $F_{a A}$ et $F_{a B}$ que portent les roulements.

4) Calculer les charges équivalentes $P_{A}$ et $P_{B}$ .

5) Calculer les durées de vie avec les roulements de $30 kN$ . Que conclurait-on en oubliant les efforts axiaux ? Conclure, puis examiner les roulements de $45 kN$ et la dissymétrie entre $A$ et $B$ .

Corrigé

La stratégie. La documentation donne la durée de vie à partir de la charge équivalente ; il faut donc remonter des efforts de denture aux charges radiales (statique dans deux plans), puis aux charges axiales (que la statique seule ne répartit pas entre deux roulements en opposition : c'est la règle du constructeur qui le fait), puis à $P$ .

1) Les efforts de denture. $F_{t} = \frac{2 \times 600}{0 , 200} = 6000 N, F_{a} = 6000 \times tan 1 5^{\circ} = 1608 N,$ $F_{r} = \frac{6 000 \times tan 2 0 ^{\circ}}{cos 1 5 ^{\circ}} = 2261 N .$ L'hélice coûte un effort axial de plus du quart de l'effort tangentiel : c'est le prix du fonctionnement silencieux.

2) Les réactions radiales. On isole l'arbre ; les roulements sont des appuis aux centres de poussée, distants de $180 mm$ . Dans le plan de $F_{t}$ (perpendiculaire à la figure), la roue est à $60 mm$ de $A$ : $R_{A t} = 6000 \times \frac{120}{180} = 4000 N, R_{B t} = 6000 \times \frac{60}{180} = 2000 N .$ Dans le plan de la figure, $F_{a}$ , appliqué à $100 mm$ au-dessus de l'axe, crée un moment $F_{a} \frac{d}{2} = 1608 \times 0, 100 = 160, 8 N m$ , qui s'ajoute à celui de $F_{r}$ autour de $B$ . Moments en $B$ , puis résultante : $R_{A y} = \frac{2 261 \times 0 , 120 + 160 , 8}{0 , 180} = 2400 N, R_{B y} = 2261 - 2400 = - 140 N .$ D'où $R_{A} = 400 0^{2} + 240 0^{2} = 4665 N, R_{B} = 200 0^{2} + 14 0^{2} = 2005 N .$ $A$ est le plus chargé pour deux raisons : la roue en est deux fois plus proche, et le moment de l'effort axial charge $A$ et décharge $B$ .

3) Le montage et les efforts axiaux. L'arbre tourne, la charge a une direction fixe : les bagues intérieures sont serrées sur l'arbre, les bagues extérieures glissantes dans le carter. On règle donc par les bagues extérieures, au moyen de cales sous le couvercle qui pousse l'une d'elles : c'est le montage en X (direct), naturel pour un arbre tournant. Efforts induits : $F_{i A} = \frac{0 , 5 \times 4 665}{1 , 6} = 1458 N, F_{i B} = \frac{0 , 5 \times 2 005}{1 , 6} = 627 N .$ $F_{i B} + F_{a} = 627 + 1608 = 2234 N \geq F_{i A}$ : l'arbre est poussé vers $A$ , qui porte tout : $F_{a A} = 2234 N, F_{a B} = F_{i B} = 627 N .$ Contrôle : l'arbre est en équilibre axial, $F_{a A} - F_{a B} = 1607 N \approx F_{a}$ . $B$ porte un effort axial alors qu'aucun effort extérieur ne le pousse : c'est l'effort que sa propre charge radiale crée sur ses rouleaux inclinés, et que $A$ doit équilibrer.

4) Les charges équivalentes. Pour $A$ : $\frac{F _{a A}}{R _{A}} = \frac{2 234}{4 665} = 0, 48 > e$ , donc $P_{A} = 0, 4 \times 4665 + 1, 6 \times 2234 = 1866 + 3575 = 5441 N .$ Pour $B$ : $\frac{627}{2 005} = 0, 31 \leq e$ , donc $P_{B} = R_{B} = 2005 N$ . L'effort axial augmente la charge équivalente de $A$ de $17 %$ .

5) Les durées de vie. Avec $L_{10 h} = \frac{1 0 ^{6}}{60 \times 400} (\frac{C}{P})^{10/3}$ et $C = 30 kN$ : $L_{10 h, A} = 41, 7 \times (\frac{30 000}{5 441})^{10/3} = 12340 h, L_{10 h, B} = 344000 h .$ $A$ n'atteint pas $20000 h$ : non tenu. Le piège : en oubliant les efforts axiaux ( $P_{A} = R_{A}$ ), on trouverait $20600 h$ et l'on accepterait un roulement qui ne dure que $60 %$ de l'exigence ; l'exposant $\frac{10}{3}$ amplifie les $17 %$ de charge en $40 %$ de durée. Avec $C = 45 kN$ : $L_{10 h, A} = 47700 h$ , tenu.

Exigence $L_{10 h} \geq 20000 h$	$A$	$B$
$C = 30 kN$	$12340 h$ : non tenu	$344000 h$ : tenu
$C = 30 kN$ , efforts axiaux oubliés	$20600 h$ : faussement tenu	—
$C = 45 kN$	$47700 h$ : tenu	tenu

La dissymétrie est forte : $B$ dure dix-sept fois l'exigence avec le petit roulement. Deux choix se défendent : deux tailles (le $45 kN$ en $A$ , le $30 kN$ en $B$ , plus léger, mais deux alésages différents et un effort induit à recalculer) ou deux roulements identiques (un seul alésage usiné d'une passe, une seule référence en stock). C'est un critère de coût et de maintenance, pas de durée de vie.

Ce que l'exercice installe. La chaîne complète de la durée de vie d'un montage à partir d'une documentation technique : efforts de denture, réactions radiales dans deux plans, efforts axiaux répartis par la règle du constructeur (la statique ne le peut pas, le montage étant hyperstatique axialement), charge équivalente, durée de vie. Les efforts axiaux ne sont jamais secondaires : sur un roulement à contact oblique, la charge radiale elle-même en crée un. Et l'exposant de la durée de vie amplifie toute erreur sur la charge.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →