Conception mécanique et transmissions de puissance

Cours · sciences industrielles (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le programme de PT ne demande pas de décrire des composants : il demande de les choisir et de les dimensionner. Il nomme les exigences techniques d'une liaison (assemblage, guidage en rotation, guidage en translation) et ses critères de dimensionnement (puissance, vitesse et effort, durée de vie, encombrement) ; pour un composant de la chaîne de puissance, dimensionné à partir d'une documentation technique, il nomme la durée de vie, le couple thermique équivalent, la puissance et le rapport de transmission. Il demande enfin de caractériser la réversibilité d'un transmetteur et de modifier un modèle pour le rendre isostatique (hyperstatisme, conditions géométriques associées).

Ce chapitre s'appuie sur les acquis de première année (durée de vie nominale d'un roulement, charge équivalente, vis à billes, roue et vis sans fin, courroie, embrayage et frein, lois entrée-sortie des transmetteurs) et sur le couple thermique équivalent, défini avec les théorèmes énergétiques. Il traite les montages de roulements, le guidage en translation, les assemblages arbre-moyeu, les trains épicycloïdaux, puis le dimensionnement d'un composant de la chaîne de puissance. Les données de catalogue (capacités, coefficients, règles de répartition) sont toujours fournies, comme dans une documentation technique : on ne les retient pas, on sait s'en servir. L'étanchéité et la lubrification, qui ne sont pas au programme, sont présentées en fin de chapitre, en complément signalé.

5.1 Guidage en rotation : montages de roulements

Un guidage en rotation par roulements se conçoit en trois décisions : quelle bague de chaque roulement est montée serrée ; comment les efforts axiaux sont arrêtés, et donc quel hyperstatisme on accepte ; et, pour des roulements à contact oblique, quel montage, en O ou en X.

Définition 5.1Bague tournante et nature des ajustements

Une bague de roulement est dite tournante si elle tourne par rapport à la direction de la charge qu'elle porte : la charge parcourt alors tout son pourtour à chaque tour. La bague tournante se monte serrée : montée avec du jeu, elle roulerait sur sa portée et l'userait. L'autre bague peut être montée glissante ou incertaine ; c'est elle qui porte les libertés axiales et les réglages.

Arbre tournant, charge de direction fixe (courroie, poids, engrenage) : bagues intérieures serrées sur l'arbre, bagues extérieures glissantes dans le logement.
Moyeu tournant autour d'un axe fixe, charge de direction fixe (roue, galet, poulie folle) : bagues extérieures serrées dans le moyeu, bagues intérieures glissantes sur l'axe.
Charge qui tourne avec l'arbre (balourd) : la conclusion s'inverse.

Un ajustement se désigne par sa nature (serré, incertain, glissant) ; les codes des ajustements normalisés ne sont pas exigibles.

Proposition 5.2Modèles des roulements et hyperstatisme d'un guidage

Un roulement à billes à contact radial arrêté axialement dans les deux sens se modélise par une rotule ; un roulement libre axialement (une bague coulisse dans sa portée) par une linéaire annulaire. Pour un arbre guidé par rapport à un bâti, le degré d'hyperstatisme vaut

$h = I_{s} - 6 + m,$

où $I_{s}$ est le nombre d'inconnues statiques des liaisons et $m$ la mobilité ( $m = 1$ : la rotation propre).

Montage fixe-libre (rotule et linéaire annulaire) : $h = 5 - 6 + 1 = 0$ , isostatique ; l'arbre se dilate librement, le roulement libre glissant par sa bague non tournante.
Deux roulements arrêtés dans les deux sens (deux rotules) : $h = 6 - 6 + 1 = 1$ . L'inconnue de trop est axiale ; la condition géométrique associée est l'égalité des distances entre arrêts sur l'arbre et dans le logement. Une dilatation différentielle $Δ L = α Δ T L$ qui dépasse le jeu interne crée un effort axial que la statique ne voit pas.
Deux arrêts croisés (chaque roulement arrête un sens) : isostatique en service si l'on laisse un jeu axial supérieur à la dilatation ; on le réserve aux arbres courts.

Définition 5.3Montages en O et en X

Un roulement à contact oblique (billes à contact oblique, rouleaux coniques) porte une charge combinée, radiale et axiale, mais n'arrête l'arbre que dans un sens ; une charge radiale y crée un effort axial induit. On les monte donc par paires, en opposition, et l'on règle leur jeu. La ligne de charge d'un roulement coupe l'axe en son centre de poussée, décalé de $a$ de son centre géométrique ; pour un roulement à billes de diamètre moyen $d_{m}$ et d'angle de contact $α$ , $a = \frac{d _{m}}{2} tan α$ (pour un roulement à rouleaux coniques, $a$ est donné par le constructeur). Les deux roulements ont leurs centres géométriques distants de $L$ .

Montage en X (montage direct) : les lignes de charge convergent vers l'intérieur ; les centres de poussée sont entre les roulements, leur écartement vaut $ℓ = L - 2 a$ .
Montage en O (montage indirect) : les lignes de charge divergent vers l'extérieur ; les centres de poussée sont à l'extérieur, leur écartement vaut $ℓ = L + 2 a$ . Le montage en O est le plus raide aux moments (au basculement) : un moment se reprend par un couple de réactions radiales de bras de levier $ℓ$ .

Méthode : Choisir entre O et X

Repérer les bagues tournantes : elles sont serrées et ne se règlent pas ; le jeu se règle par les bagues glissantes.
Arbre tournant (bagues intérieures serrées) : réglage par les bagues extérieures, au moyen de cales sous un couvercle : le montage en X est le plus simple.
Moyeu tournant (bagues extérieures serrées) : réglage par les bagues intérieures, au moyen d'un écrou sur l'axe : le montage en O s'impose.
Si l'arbre porte un fort moment ou un porte-à-faux (broche de machine-outil, roue), le montage en O est préféré même sur un arbre tournant, au prix d'un réglage par écrou et entretoises sur l'arbre.

Proposition 5.4Précharge d'un montage en opposition

Le montage en opposition est hyperstatique axialement ( $h = 1$ ) : le réglage réalise la condition géométrique, avec un léger jeu ou une précharge $F_{0}$ (les deux roulements comprimés l'un contre l'autre). En modélisant les roulements par des ressorts axiaux de raideurs $k_{A}$ et $k_{B}$ , un effort axial extérieur $F$ dirigé vers $B$ déplace l'arbre de $\frac{F}{k _{A} + k _{B}}$ et

$F_{B} = F_{0} + \frac{k _{B}}{k _{A} + k _{B}} F, F_{A} = F_{0} - \frac{k _{A}}{k _{A} + k _{B}} F .$

Tant que les deux roulements restent chargés, la raideur axiale vaut $k_{A} + k_{B}$ au lieu de celle d'un seul roulement, et il n'y a plus de jeu. La précharge se réalise par des cales (précharge rigide, sensible aux dilatations) ou par des ressorts et rondelles élastiques (précharge à effort presque constant, insensible aux dilatations), et se règle par un écrou de précision.

Proposition 5.5Durée de vie d'un roulement (rappel)

Pour une charge et une vitesse constantes, la durée de vie nominale (fiabilité de $90 %$ ) vaut

$L_{10} = (\frac{C}{P})^{n} millions de tours, L_{10 h} = \frac{1 0 ^{6} L _{10}}{60 N} heures,$

avec $C$ la capacité de charge dynamique, $n = 3$ pour les billes et $n = \frac{10}{3}$ pour les rouleaux, $N$ en $tr / min$ , et $P = X F_{r} + Y F_{a}$ la charge dynamique équivalente, $X$ , $Y$ et le seuil $e$ de $F_{a} / F_{r}$ étant lus dans la documentation. Pour un montage de roulements à contact oblique, les efforts axiaux $F_{a}$ se calculent par la règle du constructeur, qui tient compte des efforts induits.

5.2 Guidage en translation

Un guidage en translation par contact direct (coulisseau, colonne, queue d'aronde) est simple et raide, mais il frotte et peut se bloquer ; un guidage par éléments roulants (rails à patins à recirculation de billes) frotte peu, mais il est hyperstatique et se dimensionne en durée de vie.

Proposition 5.6Arc-boutement d'un coulisseau

Un coulisseau de longueur $L$ , avec un faible jeu, est poussé par un effort $F$ parallèle au guidage, appliqué à la distance $e$ de son axe ; il entraîne une charge qui lui oppose $Q$ . Il bascule et touche son guide en deux points opposés, à ses extrémités, où les lois de Coulomb s'appliquent (coefficient $f$ ). L'équilibre donne $N L = F e$ et $F = Q + 2 f N$ , soit

$F (1 - \frac{2 f e}{L}) = Q .$

Si $L \leq 2 f e$ , aucun effort ne fait avancer le coulisseau : c'est l'arc-boutement, une condition de géométrie (avec le coefficient d'adhérence au démarrage). Hors arc-boutement, le rendement du guidage vaut $η = 1 - \frac{2 f e}{L}$ .

Définition 5.7Guidage par rails à patins

Chaque patin, qui enveloppe son rail, forme avec lui une liaison glissière (cinq inconnues statiques) et porte des charges dans tous les sens transverses. Une table sur deux rails et quatre patins est hyperstatique de degré $h = 4 \times 5 - 6 + 1 = 15$ : les conditions géométriques (parallélisme des rails, coplanarité des appuis) se réalisent par des surfaces usinées, un rail de référence et l'élasticité des patins. La statique ne donne pas la charge de chaque patin : on l'obtient sous une hypothèse (table rigide, patins de même raideur), qui rend la charge fonction affine de la position. La durée de vie d'un patin, donnée par le constructeur, est de la forme $L = (\frac{C}{P})^{3} \times 50 km$ ; elle se calcule sur le patin le plus chargé.

5.3 Assemblages arbre-moyeu

Un assemblage transmet un couple par obstacle (clavette, cannelures) ou par adhérence (frettage, cône, frette serrée par vis). Dans les deux cas, on passe d'une pression locale admissible à un effort ou à un couple global.

Proposition 5.8Clavette parallèle

Un arbre de diamètre $d$ transmet le couple $C$ : l'effort tangentiel sur la clavette vaut $F_{t} = \frac{2 C}{d}$ . Pour une clavette de largeur $b$ et de longueur $ℓ$ , portant sur le moyeu sur une hauteur $k$ :

$matage : \frac{F _{t}}{k ℓ} \leq p_{a d m}, cisaillement : \frac{F _{t}}{b ℓ} \leq R_{p g} .$

Le matage dimensionne presque toujours. Une longueur nécessaire de plus d'environ $1, 5 d$ signale qu'il faut changer de solution (deux clavettes, cannelures, frettage).

Proposition 5.9Frettage : couple transmissible

Un moyeu fretté sur un arbre de diamètre $d$ , sur une longueur $ℓ$ , exerce une pression de contact $p$ uniforme (donnée par la documentation en fonction du serrage). À la limite du glissement, un élément $d S = \frac{d}{2} d θ d x$ de la surface de contact reçoit la force tangentielle $f p d S$ , de moment $\frac{d}{2} f p d S$ ; d'où

$C = \int_{0}^{ℓ} \int_{0}^{2 π} \frac{d ^{2}}{4} f p d θ d x = \frac{f p π d ^{2} ℓ}{2} .$

Chaque vérification se fait au serrage qui lui est défavorable : le couple au serrage minimal, la contrainte dans le moyeu au serrage maximal. Le montage se fait à chaud : il faut $α Δ T d \geq δ_{m a x} + j$ , $j$ étant le jeu de montage souhaité.

5.4 Transmission de puissance par trains épicycloïdaux

Un train ordinaire a un rapport de réduction figé par ses nombres de dents. Un train épicycloïdal en a un qui dépend de ce qu'on bloque — et c'est toute sa valeur industrielle. La relation de Willis lie trois vitesses ; imposer l'une d'elles laisse un rapport déterminé entre les deux autres, et changer laquelle on impose change le rapport. C'est ce degré de liberté supplémentaire qui fait de la même denture un réducteur, un multiplicateur, un différentiel ou une boîte de vitesses.

Définition 5.10Relation de Willis

Un train épicycloïdal simple comporte un planétaire $1$ , des satellites $2$ , une couronne $3$ et un porte-satellites $p s$ . Dans le repère du porte-satellites, c'est un train ordinaire ; sa raison de base vaut

$λ = \frac{ω _{1/ p s}}{ω _{3/ p s}} = \frac{ω _{1/0} - ω _{p s /0}}{ω _{3/0} - ω _{p s /0}} = (- 1)^{k} \frac{\prod Z _{men e ˊ es}}{\prod Z _{menantes}} = - \frac{Z _{3}}{Z _{1}},$

où $k$ est le nombre de contacts extérieurs, le planétaire $1$ étant compté menant. La condition d'entraxe impose $Z_{1} + 2 Z_{2} = Z_{3}$ .

Proposition 5.11Condition de montage géométrique

Pour monter $n_{s}$ satellites régulièrement répartis, il faut que $\frac{Z _{1} + Z _{3}}{n _{s}}$ soit entier.

Méthode : Conduire un calcul de train épicycloïdal

Identifier les trois éléments : le planétaire, la couronne et le porte-satellites. Les satellites n'apparaissent pas dans la relation de Willis — ils n'y interviennent que par leurs nombres de dents.
Calculer la raison de base $λ$ comme pour un train ordinaire, en observant le train depuis le porte-satellites, et compter les contacts extérieurs pour le signe.
Écrire la condition imposée par le montage : couronne bloquée, planétaire bloqué, ou deux éléments liés (prise directe).
En déduire le rapport cherché, puis vérifier son signe et son ordre de grandeur : couronne fixe, entrée au planétaire et sortie au porte-satellites, le train est réducteur de même sens, de rapport $\frac{Z _{1}}{Z _{1} + Z _{3}}$ ; avec l'entrée au porte-satellites, le même train est multiplicateur.

Proposition 5.12Rendement d'un train épicycloïdal

Dans le repère du porte-satellites, le train est ordinaire, de rendement $η_{0}$ (produit des rendements d'engrènement). Seule la puissance qui y transite, le couple multiplié par la vitesse relative au porte-satellites, subit les pertes. Méthode : écrire l'équilibre des trois couples extérieurs, $C_{1} + C_{3} + C_{p s} = 0$ ; identifier l'élément menant dans le mouvement relatif (celui dont la puissance relative est positive) ; écrire que la puissance relative reçue par l'élément mené vaut $η_{0}$ fois celle que fournit l'élément menant. Pour un réducteur à couronne fixe de rapport $\frac{1}{k}$ (entrée au planétaire), la fraction $\frac{k - 1}{k}$ de la puissance traverse les dentures, et

$η = 1 - (1 - η_{0}) \frac{k - 1}{k} = \frac{1 + ( k - 1 ) η _{0}}{k} .$

Le rendement inverse (entrée au porte-satellites, sortie au planétaire) vaut

$η_{i} = \frac{k}{1 + \frac{k - 1}{η _{0}}} .$

En prise directe, aucun mouvement relatif : les dentures ne perdent rien.

5.5 Dimensionner un composant de la chaîne de puissance

Dimensionner un composant, c'est comparer une capacité à une sollicitation : une capacité de charge à une charge équivalente (durée de vie), un couple permanent à un couple thermique équivalent (échauffement), une vitesse et un couple maximaux à ceux qu'impose le rapport de transmission. Quand la sollicitation varie au cours d'un profil de mission, chaque critère exige sa propre moyenne, établie à partir du mécanisme physique en jeu.

◆Théorème 5.13Charge équivalente sur un profil de mission

Un roulement ou une vis de capacité $C$ subit des phases de $n_{i}$ tours sous les charges constantes $P_{i}$ . Sous l'hypothèse du cumul linéaire des endommagements (chaque phase consomme la fraction $\frac{n _{i}}{L _{i}}$ de la vie, avec $L_{i} = (\frac{C}{P _{i}})^{q}$ ; la rupture survient quand la somme atteint $1$ ), le profil équivaut à la charge constante

$P_{e q} = (\frac{\sum _{i} n _{i} P _{i}^{q}}{\sum _{i} n _{i}})^{1/ q},$

appliquée pendant le même nombre total de tours ( $q = 3$ pour les billes et les vis, $\frac{10}{3}$ pour les rouleaux). Si la phase $i$ dure le temps $t_{i}$ à la vitesse $N_{i}$ , $n_{i}$ est proportionnel à $N_{i} t_{i}$ .

Démonstration

La charge constante $P_{e q}$ , appliquée pendant $\sum n_{i}$ tours, consomme la fraction $\frac{\sum n _{i} P _{e q}^{q}}{C ^{q}}$ de la vie ; le profil consomme $\sum \frac{n _{i} P _{i}^{q}}{C ^{q}}$ . L'égalité des deux donne $P_{e q}$ . C'est une moyenne d'ordre $q$ pondérée par les tours, toujours supérieure à la moyenne arithmétique : les phases les plus chargées dominent l'usure.

Définition 5.14Couple thermique équivalent (rappel)

Pour un moteur dont le couple est proportionnel au courant, les pertes Joule sont proportionnelles au carré du couple. Si la constante de temps thermique du moteur est grande devant la durée $T$ du cycle, l'échauffement suit la puissance moyenne dissipée : le moteur supporte le cycle si son couple thermique équivalent, valeur efficace du couple sur le cycle, ne dépasse pas son couple permanent :

$C_{t h} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} C_{m}^{2} (t) d t \leq C_{p er m} .$

Un moteur se vérifie donc trois fois : couple maximal du cycle au plus égal au couple crête ; couple thermique équivalent au plus égal au couple permanent ; vitesse maximale du cycle au plus égale à la vitesse maximale du moteur.

Méthode : Choisir un rapport de transmission

Pour un moteur entraînant une vis de pas $p$ à travers un réducteur de rapport $k = \frac{ω _{moteur}}{ω _{vis}}$ (rendements $η_{r}$ et $η_{v}$ ) :

la vitesse maximale du moteur borne $k$ par le haut : $k \leq \frac{ω _{m a x} p}{2 π v _{m a x}}$ ;
le couple crête borne $k$ par le bas : $k \geq \frac{F _{m a x} p}{2 π η _{v} η _{r} C _{m a x}}$ ;
le couple thermique équivalent, qui décroît quand $k$ augmente, resserre la fenêtre ;
on choisit $k$ dans la fenêtre restante, avec une marge sur chaque critère, puis on vérifie l'encombrement et les conditions de montage du réducteur. L'adaptation d'inertie, vue avec les théorèmes énergétiques, donne un repère supplémentaire pour les axes à forte dynamique.

Exemple de fenêtre (actionneur d'aileron des travaux dirigés) : le couple crête impose $k \geq 3, 71$ , la vitesse $k \leq 6, 25$ , le couple thermique $k \geq 5, 31$ .

Proposition 5.15Réversibilité d'un transmetteur et conséquences

Un transmetteur est réversible si la charge peut l'entraîner ; son rendement inverse $η_{i}$ (puissance reçue par l'entrée sur puissance fournie par la sortie, quand la charge est motrice) est alors positif. Pour une vis de pas $p$ portant un effort axial $F$ , le couple que la charge exerce sur la vis vaut

$C = \frac{F p η _{i}}{2 π} .$

Conséquences de conception : une chaîne réversible ne tient sa charge à l'arrêt que par un frein (à manque de courant, pour la sécurité) ou par un couple moteur permanent, qui échauffe le moteur ; elle recule en cas de perte d'alimentation. Une vis irréversible tient seule sa charge, mais son rendement direct est inférieur à $\frac{1}{2}$ : elle dissipe en marche plus de la moitié de la puissance.

5.6 Complément (hors programme) : étanchéité et lubrification

Cette section n'est pas au programme de PT : l'étanchéité ne figure pas parmi les exigences techniques d'une liaison (assemblage, guidage en rotation, guidage en translation), et ni les joints ni la lubrification ne sont nommés. Elle donne la culture de conception qu'utilisent les bureaux d'études ; aucune de ses notions n'est exigible.

L'étanchéité conditionne la durée de vie d'un mécanisme : un roulement meurt plus souvent de pollution que de fatigue. Le choix se joue sur un compromis — le contact assure l'étanchéité mais frotte, s'échauffe et s'use ; l'absence de contact ne s'use pas mais ne retient que ce que la force centrifuge et la gravité veulent bien lui laisser retenir.

iRemarque

La lubrification suit la même logique de vitesse. À basse et moyenne vitesse, la graisse suffit et présente l'avantage de participer à l'étanchéité en obturant les passages. Au-delà, elle ne dissipe plus assez de chaleur et il faut passer à l'huile, par barbotage puis par circulation forcée — laquelle impose à son tour une étanchéité plus sérieuse, et referme la boucle : le choix du lubrifiant et celui du joint ne se décident pas séparément.

L'étanchéité dynamique protège les organes mécaniques :

étanchéité avec contact : joints à lèvre en élastomère, dont la lèvre est serrée sur l'arbre par un ressort torique ; ils sont limités par la vitesse périphérique de l'arbre (de l'ordre de $10$ à $15 m / s$ pour les élastomères courants), qui fixe l'échauffement de la lèvre ;
étanchéité sans contact : chicanes et labyrinthes, pour les grandes vitesses périphériques. C'est la vitesse périphérique $π d N$ , et non la vitesse de rotation seule, qui décide : une broche de $70 mm$ à $24000 tr / min$ tourne à $88 m / s$ (labyrinthe), un arbre de $40 mm$ à $1500 tr / min$ à $3, 1 m / s$ (joint à lèvre).

5.7 Travaux dirigés

Exercice 1 — Quelle bague serrer, combien d'hyperstatisme laisser : l'arbre de ventilateur et le moyeu de remorque

On conçoit deux guidages en rotation par roulements.

Le ventilateur. L'arbre en acier d'un ventilateur industriel, entraîné par courroie, tourne à $N = 1500 tr mi n^{- 1}$ . Il est guidé par deux roulements à billes à contact radial $A$ et $B$ , distants de $L = 400 mm$ ; chacun porte une charge radiale $F_{r} = 600 N$ , de direction fixe (tension de la courroie et poids de la turbine) ; aucun effort axial extérieur notable. En service, l'arbre est plus chaud que le carter de $Δ T = 25 K$ ; coefficient de dilatation $α = 12 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ pour les deux. Documentation (donnée) : $C = 20 kN$ ; $P = F_{r}$ si $F_{a} / F_{r} \leq e = 0, 3$ , $P = 0, 56 F_{r} + 1, 6 F_{a}$ sinon ; jeu axial interne des deux roulements réunis $j = 30 μ m$ ; raideur axiale de la chaîne arbre, roulements, carter $k_{a} = 25 N μ m^{- 1}$ . Exigence : $L_{10 h} \geq 40000 h$ .

Le moyeu de remorque. La fusée (l'axe) est fixe ; la roue et son moyeu tournent autour d'elle. Deux roulements à rouleaux coniques, $A$ côté véhicule et $B$ côté extérieur, ont leurs centres géométriques distants de $50 mm$ ; le plan médian de la roue est à $20 mm$ de $A$ . Documentation (donnée) : le centre de poussée de chaque roulement (point où sa ligne de charge coupe l'axe) est décalé de $a = 12 mm$ de son centre géométrique, du côté vers lequel converge sa ligne de charge. Charge verticale au sol $W = 5000 N$ par roue ; en virage, effort latéral au sol $Y = 0, 4 W$ , dans un sens ou dans l'autre ; rayon de roue $R = 0, 30 m$ . Exigence (traduite par le constructeur de la durée de vie visée) : charge radiale au plus $12 kN$ sur chaque roulement en virage.

1) Pour chacun des deux guidages, quelle bague de roulement tourne par rapport à la direction de la charge ? Laquelle doit être montée serrée, laquelle peut être glissante ? Justifier.

2) Ventilateur, première version : chaque roulement est arrêté axialement dans les deux sens, sur l'arbre et dans le carter. Modéliser chaque roulement par une liaison, calculer le degré d'hyperstatisme du guidage et dire quelle condition géométrique il impose. En service, quel effort axial la dilatation crée-t-elle ? Conclure sur la durée de vie.

3) Seconde version : proposer un montage isostatique (quel roulement est libre, et par quelle bague il glisse) ; calculer son degré d'hyperstatisme et la durée de vie.

4) Moyeu : pourquoi des roulements à rouleaux coniques, montés par paire en opposition ? Les bagues serrées étant celles de la question 1, par quelles bagues règle-t-on le jeu, avec quel organe ? En déduire que le montage est en O (montage indirect). Chaque roulement étant modélisé par une rotule qui n'arrête l'axe que dans un sens, calculer le degré d'hyperstatisme du montage et dire le rôle du réglage.

5) Calculer les charges radiales sur $A$ et sur $B$ en virage, dans les deux sens de l'effort latéral, pour le montage en O, puis pour un montage en X (montage direct) des mêmes roulements, dont les centres de poussée seraient décalés vers l'intérieur. Conclure, et comparer les durées de vie des deux montages.

Démonstration (Corrigé)

La stratégie. On prend les décisions dans l'ordre où elles s'imposent : la direction de la charge par rapport à chaque bague dit quelle bague serrer ; la bague restée glissante dit où l'on peut laisser glisser ou régler ; le comptage de l'hyperstatisme dit si ce montage est sensible à une dilatation ou à une cote ; enfin les centres de poussée donnent les réactions.

1) La bague tournante. Une bague qui tourne par rapport à la direction de la charge voit la charge parcourir tout son pourtour à chaque tour ; montée avec du jeu, elle roulerait sur sa portée, comme une roue dans un anneau, et l'userait en quelques heures. La bague tournante par rapport à la direction de la charge se monte serrée ; l'autre peut être montée glissante ou incertaine, ce qui facilite le montage et autorise un déplacement axial.

Ventilateur : la charge (courroie, poids) a une direction fixe dans le carter et l'arbre tourne : les bagues intérieures tournent par rapport à la charge, elles sont serrées sur l'arbre ; les bagues extérieures, fixes par rapport à la charge, peuvent être glissantes dans le carter.
Moyeu : la charge ( $W$ , verticale) a une direction fixe par rapport à la fusée et le moyeu tourne : ce sont les bagues extérieures qui tournent par rapport à la charge, elles sont serrées dans le moyeu ; les bagues intérieures sont glissantes sur la fusée.

La règle porte sur la direction de la charge, pas sur la pièce qui tourne : une charge tournante (un balourd sur un arbre) inverse la conclusion.

2) Deux roulements arrêtés dans les deux sens. Un roulement à billes à contact radial arrêté dans les deux sens transmet une force dans toutes les directions et tolère quelques minutes d'angle de rotulage : on le modélise par une rotule. L'arbre est guidé par deux rotules de centres $A$ et $B$ : $I_{s} = 3 + 3 = 6$ inconnues statiques, $6$ équations pour l'arbre isolé, mobilité $m = 1$ (la rotation propre). D'où

$h = I_{s} - 6 + m = 6 - 6 + 1 = 1.$

L'inconnue de trop est axiale : les composantes axiales $X_{A}$ et $X_{B}$ n'apparaissent que par leur somme, dans l'équation de résultante axiale. La condition géométrique associée : la distance entre les arrêts axiaux sur l'arbre doit être exactement celle des arrêts dans le carter, au jeu interne près. Or, en service, l'arbre s'allonge de plus que le carter :

$Δ L = α Δ T L = 12 \times 1 0^{- 6} \times 25 \times 400 = 0, 12 mm = 120 μ m .$

Le jeu de $30 μ m$ absorbe le début ; les $90 μ m$ restants comprennent la chaîne arbre, roulements, carter, comme un ressort :

$F_{a} = k_{a} (Δ L - j) = 25 \times 90 = 2250 N,$

sur chaque roulement (les deux efforts sont égaux et opposés, la statique ne pouvait pas les donner). Alors $F_{a} / F_{r} = 3, 75 > e$ et

$P = 0, 56 \times 600 + 1, 6 \times 2250 = 336 + 3600 = 3936 N,$

$L_{10} = (\frac{20 000}{3 936})^{3} = 131 millions de tours, L_{10 h} = \frac{131 \times 1 0 ^{6}}{60 \times 1 500} = 1460 h .$

Sans effort axial ( $P = F_{r} = 600 N$ ), on aurait $37000$ millions de tours, soit $411500 h$ : la dilatation divise la durée de vie par $(\frac{3 936}{600})^{3} = 282$ . Non tenu, et de loin : un effort que la statique ignore, créé par une cote, a fixé la durée de vie.

3) Le montage isostatique. On laisse un roulement libre axialement. $A$ reste fixe : ses deux bagues sont arrêtées dans les deux sens (rotule). $B$ devient libre : sa bague intérieure, tournante, reste serrée et arrêtée sur l'arbre ; sa bague extérieure, fixe par rapport à la charge et donc glissante, n'est arrêtée dans aucun sens : elle coulisse dans son logement quand l'arbre se dilate. $B$ se modélise par une linéaire annulaire de centre $B$ :

$h = (3 + 2) - 6 + 1 = 0.$

La dilatation se loge dans le glissement de $B$ ; l'effort axial se réduit au frottement de la bague dans son alésage, négligeable : $P = 600 N$ et $L_{10 h} = 411500 h \geq 40000 h$ , tenu. La règle de la bague tournante et l'isostatisme vont dans le même sens : c'est la bague glissante qui porte la liberté. Sur un arbre court et peu chaud, on emploie aussi deux arrêts croisés (chaque roulement arrête un sens) en laissant un jeu axial supérieur à la dilatation calculée.

4) Le moyeu, monté en O. La roue reçoit à la fois une charge radiale élevée et un effort axial ( $Y = 2000 N$ ) dans les deux sens : il faut des roulements qui portent des charges combinées, à contact oblique, et les rouleaux coniques portent plus que des billes à encombrement égal. Mais un roulement à contact oblique n'arrête l'axe que dans un sens, et une charge radiale y crée un effort axial induit : il en faut deux, en opposition, et leur jeu doit être réglé au montage.

Les bagues extérieures sont serrées dans le moyeu, emmanchées jusqu'à deux épaulements intérieurs du moyeu : elles ne se règlent pas. On règle donc par les bagues intérieures, glissantes sur la fusée : la bague intérieure de $A$ appuie sur un épaulement de la fusée, celle de $B$ est poussée vers $A$ par l'écrou de fusée (écrou crénelé et goupille). La chaîne se referme : écrou, bague intérieure de $B$ , rouleaux, bague extérieure de $B$ , moyeu, bague extérieure de $A$ , rouleaux, bague intérieure de $A$ , épaulement. Pour que l'écrou serre les rouleaux contre leurs bagues extérieures, chaque bague extérieure doit être appuyée sur un épaulement situé entre les deux roulements, et la ligne de charge de chaque roulement part alors de sa bague extérieure vers l'axe en s'éloignant du milieu : les centres de poussée $A^{'}$ et $B^{'}$ sont à l'extérieur, c'est le montage en O (indirect).

Hyperstatisme : deux rotules unilatérales, $I_{s} = 6$ , $h = 6 - 6 + 1 = 1$ , axial, comme à la question 2. La condition géométrique est ici la distance entre l'épaulement de la fusée et l'écrou, comparée à celle des épaulements du moyeu : aucune tolérance de fabrication ne la garantit, le réglage la réalise. On serre l'écrou jusqu'au contact (jeu nul), puis on desserre d'un cran pour laisser un léger jeu, ou l'on précharge. Avec un jeu, un effort axial n'est jamais porté que par un roulement à la fois : chaque cas de charge redevient isostatique. Avec une précharge, la répartition dépend des raideurs, et le réglage doit tenir compte des dilatations.

5) Les réactions en virage. On isole la roue et son moyeu dans le plan vertical qui contient l'axe. Au sol, au point de contact situé à $R$ sous l'axe dans le plan médian : $W$ vers le haut et $Y$ axial. Aux centres de poussée $A^{'}$ et $B^{'}$ : les réactions radiales $R_{A}$ et $R_{B}$ (comptées positives vers le bas). $W$ passe par l'axe à l'aplomb du plan médian ; $Y$ , appliqué à $R$ sous l'axe, crée le moment $Y R = 2000 \times 0, 30 = 600 N m$ . Le moment en $A^{'}$ donne, avec $ℓ$ l'écartement $A^{'} B^{'}$ et $d$ la distance de $A^{'}$ au plan médian :

$R_{B} = \frac{W d \pm Y R}{ℓ}, R_{A} = W - R_{B} .$

Montage en O : $A^{'}$ et $B^{'}$ sont à $12 mm$ à l'extérieur de $A$ et de $B$ : $ℓ = 50 + 2 \times 12 = 74 mm$ , $d = 20 + 12 = 32 mm$ , $W d = 160 N m$ : $R_{B} = \frac{160 \pm 600}{0 , 074} = 10270 ou - 5950 N, R_{A} = - 5270 ou 10950 N .$

Montage en X : les centres de poussée sont à $12 mm$ à l'intérieur : $ℓ = 50 - 24 = 26 mm$ , $d = 20 - 12 = 8 mm$ , $W d = 40 N m$ : $R_{B} = \frac{40 \pm 600}{0 , 026} = 24620 ou - 21540 N, R_{A} = - 19620 ou 26540 N .$

Un signe négatif veut dire que la bague pousse le moyeu dans l'autre sens : le moyeu bascule, un roulement est chargé vers le bas, l'autre vers le haut. En ligne droite ( $Y = 0$ ), les deux montages se valent ( $2840$ et $2160 N$ en O, $3460$ et $1540 N$ en X) : c'est le moment qui les départage, et un moment se reprend par un couple de forces d'autant plus faibles que leur bras de levier $ℓ$ est grand.

Exigence	montage en O	montage en X
charge radiale $\leq 12 kN$ en virage	$10, 95 kN$ : tenu	$26, 5 kN$ : non tenu
réglage par les bagues intérieures, glissantes	oui, par l'écrou	non : bagues serrées

La charge maximale est $\frac{26 , 54}{10 , 95} = 2, 42$ fois plus grande en X ; à charge équivalente proportionnelle, la durée de vie (rouleaux, exposant $\frac{10}{3}$ ) est divisée par $2, 4 2^{10/3} \approx 19$ . Pour un moyeu tournant, tout désigne le montage en O : la règle de la bague tournante (réglage par les bagues intérieures) et la raideur au basculement. Sur un arbre tournant, la même règle conduit au montage en X, réglé par des cales sous le couvercle ; on ne lui préfère le montage en O que si l'arbre porte un fort moment ou un porte-à-faux (broche de machine-outil), au prix d'un réglage par écrou sur l'arbre.

Ce que l'exercice installe. Trois décisions, dans l'ordre. La bague tournante par rapport à la direction de la charge se monte serrée ; l'autre, glissante, porte les libertés et les réglages. L'hyperstatisme se compte ( $h = I_{s} - 6 + m$ pour un arbre) et se paie : une inconnue axiale de trop transforme une dilatation de $120 μ m$ en $2250 N$ et divise la durée de vie par près de trois cents ; un montage fixe-libre ( $h = 0$ ) l'évite, un réglage le maîtrise. Et les centres de poussée font le bras de levier : le montage en O (indirect) écarte les centres de poussée et reprend les moments, le montage en X (direct) les rapproche.

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