sciences industrielles (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

L'axe vertical d'un portique : la vis réversible et son frein à manque de courant

Conception mécanique et transmissions de puissance · E. Dimensionner un composant de la chaîne de puissance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'axe vertical d'un portique de manutention déplace une charge totale (chariot, préhenseur et pièce) de masse $m = 400 kg$ par une vis à billes de pas $p = 25 mm$ , de rendement direct $η_{d} = 0, 92$ et de rendement inverse $η_{i} = 0, 90$ (donnés : la vis est réversible). Le moteur porte un frein à manque de courant : six ressorts hélicoïdaux, de raideur $20 N m m^{- 1}$ chacun, serrent un disque à deux faces de friction entre l'armature et le flasque ; alimenté, l'électroaimant attire l'armature et libère le disque. Garnitures annulaires de rayons $40$ et $60 mm$ , coefficient de frottement $f = 0, 35$ , usure admissible $1 mm$ (les ressorts se détendent d'autant). Inertie du rotor et de la vis : $J_{0} = 0, 0052 kg m^{2}$ (donnée). Entre la coupure du courant et le serrage du frein s'écoulent $40 ms$ , pendant lesquels ni le moteur ni le frein n'agissent. $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

Exigences : maintien de la charge hors tension avec un coefficient de sécurité de $2$ , de l'état neuf à l'usure admissible ; arrêt d'urgence en descente à $0, 4 m s^{- 1}$ en moins de $60 mm$ , neuf et usé.

1) Hors tension, quel couple la charge exerce-t-elle sur la vis ? Quel couple de freinage l'exigence de maintien impose-t-elle ?

2) Exprimer le couple de frottement d'une face de garniture sous l'hypothèse d'une pression uniforme, puis sous l'hypothèse d'une usure uniforme ( $p r$ constant). Laquelle retenir ? En déduire l'effort presseur total et l'effort par ressort. Que faudrait-il avec un disque à une seule face ?

3) Après $1 mm$ d'usure, que vaut le couple de freinage ? Conclure, et proposer une correction chiffrée.

4) Arrêt d'urgence : calculer l'inertie ramenée à la vis, puis la course parcourue pendant les $40 ms$ de réponse et pendant le freinage, frein neuf et frein usé (avec la correction), et pour le frein de la question 2 une fois usé.

5) On envisage une vis trapézoïdale irréversible (pas $6 mm$ , rendement direct $0, 35$ , donnés), qui supprimerait le frein. Comparer les puissances et les pertes en montée à $0, 4 m s^{- 1}$ et la vitesse de rotation de la vis. Conclure.

Corrigé

La stratégie. La réversibilité est donnée par le rendement inverse ; on en tire le couple que la charge exerce sur la vis, qui dimensionne le frein. Le frein se calcule par le passage de la pression locale au couple global, puis se vérifie sur toute sa durée de vie (usure) et en dynamique (arrêt d'urgence).

1) Le couple de maintien. Vis réversible : la charge entraîne la vis, et la puissance de la pesanteur parvient à la vis avec le rendement inverse. Pour un déplacement $d z = \frac{p}{2 π} d θ$ : $C_{c h} = \frac{m g p η _{i}}{2 π} = \frac{400 \times 9 , 81 \times 0 , 025 \times 0 , 90}{2 π} = 14, 05 N m .$ Le frein doit fournir $C_{f} \geq 2 \times 14, 05 = 28, 1 N m$ , jusqu'à l'usure admissible.

2) Du local au global. Sur une face, un anneau de rayon $r$ et de largeur $d r$ reçoit la force normale $p 2 π r d r$ et oppose le couple $f p 2 π r^{2} d r$ . Pour un effort presseur $F$ :

pression uniforme : $p = \frac{F}{π ( R _{2}^{2} - R _{1}^{2} )}$ et $C = f F R_{p}$ avec $R_{p} = \frac{2}{3} \frac{R _{2}^{3} - R _{1}^{3}}{R _{2}^{2} - R _{1}^{2}} = 50, 7 mm$ ;
usure uniforme : l'usure est proportionnelle à $p$ et à la vitesse de glissement $r ω$ , donc $p r = K$ constant ; $F = 2 π K (R_{2} - R_{1})$ et $C = f F R_{m}$ avec $R_{m} = \frac{R _{1} + R _{2}}{2} = 50 mm$ .

Un frein neuf se rode vite : l'état durable est celui de l'usure uniforme, qui donne en outre le plus petit couple ( $- 1, 3 %$ ) : c'est l'hypothèse prudente. Avec deux faces, $C = 2 f F R_{m}$ : $F = \frac{28 , 1}{2 \times 0 , 35 \times 0 , 050} = 803 N, \frac{803}{6} = 134 N par ressort .$ Avec une seule face, il faudrait le double, $1606 N$ : la deuxième face de friction double le couple pour le même effort.

3) L'usure. Après $1 mm$ d'usure, chaque ressort se détend de $1 mm$ et perd $20 N$ : $6 \times (134 - 20) = 683 N$ et $C_{f} = 2 \times 0, 35 \times 683 \times 0, 050 = 23, 9 N m,$ soit un coefficient $\frac{23 , 9}{14 , 05} = 1, 70 < 2$ : non tenu. Le frein, juste à neuf, ne l'est plus en fin de vie. Correction : précharger chaque ressort à $154 N$ ; à neuf, $C_{f} = 2 \times 0, 35 \times 6 \times 154 \times 0, 050 = 32, 3 N m$ ; usé, $6 \times 134 N$ donnent $28, 1 N m$ , tenu. Ou bien des rondelles Belleville, dont l'effort varie peu autour de leur point de fonctionnement : le couple ne dépend presque plus de l'usure.

4) L'arrêt d'urgence. Inertie de la charge ramenée à la vis, par l'égalité des énergies cinétiques : $m (\frac{p}{2 π})^{2} = 400 \times (3, 98 \times 1 0^{- 3})^{2} = 0, 00633 kg m^{2}$ , d'où $J = J_{0} + 0, 00633 = 0, 01153 kg m^{2}$ . Le théorème de l'énergie cinétique, dérivé, donne pour la vis : $J \frac{d ω}{d t} = C_{c h} - C_{f}$ (on applique le rendement inverse à la puissance motrice de la pesanteur, comme en régime établi).

Pendant les $40 ms$ ( $C_{f} = 0$ ) : $\frac{d ω}{d t} = \frac{14 , 05}{0 , 01153} = 1218 rad s^{- 2}$ . Au départ, $ω_{0} = \frac{2 π \times 0 , 4}{0 , 025} = 100, 5 rad s^{- 1}$ ; à $40 ms$ , $ω_{1} = 100, 5 + 1218 \times 0, 040 = 149, 3 rad s^{- 1}$ , soit $v_{1} = 0, 594 m s^{- 1}$ . La charge accélère : course $\frac{0 , 4 + 0 , 594}{2} \times 0, 040 = 19, 9 mm$ .

Pendant le freinage, décélération angulaire $\frac{C _{f} - 14 , 05}{J}$ et angle $θ = \frac{ω _{1}^{2}}{2} \cdot \frac{J}{C _{f} - 14 , 05}$ , course $\frac{p}{2 π} θ$ :

Frein	$C_{f}$	décélération	course de freinage	course totale
corrigé, neuf	$32, 3 N m$	$1586 rad s^{- 2}$	$28, 0 mm$	$47, 8 mm$ : tenu
corrigé, usé	$28, 1 N m$	$1222 rad s^{- 2}$	$36, 3 mm$	$56, 2 mm$ : tenu
initial, usé	$23, 9 N m$	$854 rad s^{- 2}$	$51, 9 mm$	$71, 8 mm$ : non tenu

La course est l'aire sous la courbe : le temps de réponse, pendant lequel la charge accélère, en coûte déjà le tiers.

5) Et si la vis était irréversible ? Puissance utile en montée : $m g v = 400 \times 9, 81 \times 0, 4 = 1570 W$ . Vis à billes : $\frac{1 570}{0 , 92} = 1706 W$ au moteur, $136 W$ de pertes. Vis trapézoïdale : $\frac{1 570}{0 , 35} = 4485 W$ , dont $2915 W$ de pertes, à évacuer de l'écrou ; et la vis tourne à $\frac{0 , 4}{0 , 006} = 66, 7 tr s^{- 1} = 4000 tr mi n^{- 1}$ , une vitesse que sa vitesse critique et son échauffement interdisent. L'irréversibilité supprime le frein mais se paie en rendement : une vis qui retient sa charge par frottement dissipe, en marche, plus de la moitié de la puissance. Sur un axe rapide, on garde la vis réversible et son frein.

Exigence	frein initial	frein corrigé
maintien, coefficient $2$ , neuf	$2, 0$ : tenu	$2, 3$ : tenu
maintien, coefficient $2$ , usé	$1, 70$ : non tenu	$2, 0$ : tenu
arrêt $\leq 60 mm$ , neuf	$56, 3 mm$ : tenu	$47, 8 mm$ : tenu
arrêt $\leq 60 mm$ , usé	$71, 8 mm$ : non tenu	$56, 2 mm$ : tenu

Ce que l'exercice installe. La réversibilité d'un transmetteur a des conséquences de conception : une vis réversible exige un frein, dimensionné par le couple $\frac{m g p η _{i}}{2 π}$ ; une vis irréversible se paie en rendement. Le couple d'un frein se calcule par le passage du modèle local au modèle global, sous l'hypothèse d'usure uniforme ( $p r$ constant). Et un composant se vérifie sur toute sa durée de vie (l'usure détend les ressorts) et en dynamique (le temps de réponse coûte de la course).

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