sciences industrielles (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le coulisseau qui se coince, puis la table sur rails à patins

Conception mécanique et transmissions de puissance · B. Guidage en translation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le coulisseau. Un coulisseau de longueur $L$ glisse sur une colonne cylindrique, avec un faible jeu radial. Un vérin le pousse par un effort $F$ parallèle à l'axe, appliqué à la distance $e = 200 mm$ de l'axe ; le coulisseau entraîne une charge qui lui oppose un effort $Q$ selon l'axe. À cause du jeu, il bascule légèrement et touche la colonne en deux points diamétralement opposés, à ses deux extrémités ; on applique les lois de Coulomb en ces deux contacts (coefficient d'adhérence $f_{s} = 0, 20$ , de frottement $f = 0, 15$ ). Longueur disponible : $L = 150 mm$ . Exigences : pas d'arc-boutement au démarrage ; rendement du guidage $η = \frac{Q}{F} \geq 0, 75$ .

La table sur rails à patins. Pour une table de machine, on remplace ce guidage par deux rails parallèles et quatre patins à recirculation de billes ; chaque patin forme avec son rail une liaison glissière. Les patins occupent les sommets d'un rectangle de $400 mm$ (le long des rails) sur $300 mm$ (entre les rails) ; dans le repère centré au milieu des patins, ils sont en $(\pm 200; \pm 150) mm$ , numérotés $1 (200; 150)$ , $2 (200; - 150)$ , $3 (- 200; 150)$ , $4 (- 200; - 150)$ . Une charge verticale $W = 6 kN$ s'applique en $(200; 75) mm$ . Documentation des patins (donnée) : durée de vie $L = (\frac{C}{P})^{3} \times 50 km$ , $P$ étant la charge du patin ; deux tailles, $C = 11 kN$ et $C = 27 kN$ . Cycle : un aller-retour de $2 \times 600 mm$ toutes les $5 s$ , $16 h$ par jour, $240 jours$ par an. Exigence : cinq ans de service.

1) Isoler le coulisseau en mouvement uniforme (on néglige son poids). Exprimer les actions normales $N$ aux deux contacts et l'effort $F$ en fonction de $Q$ . En déduire la condition d'arc-boutement et la longueur minimale qui l'évite au démarrage.

2) Exprimer le rendement $η = Q / F$ du guidage en marche. Quelle longueur l'exigence de rendement impose-t-elle ? Conclure.

3) Calculer le degré d'hyperstatisme de la liaison entre la table et le bâti réalisée par les quatre patins. Quelles conditions géométriques doit-on respecter ? La statique donne-t-elle la charge de chaque patin ?

4) On suppose la table rigide et les quatre patins de même raideur verticale. Montrer que la charge des patins est une fonction affine de leur position, et la calculer. Commenter le signe de la charge du patin $4$ .

5) Calculer la distance parcourue en cinq ans, puis la durée de vie du patin le plus chargé pour les deux tailles. Que conclurait-on en répartissant $W$ en quatre parts égales ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Pour le coulisseau, le moment de l'effort moteur, excentré, crée les actions normales, et le frottement les multiplie : on écrit l'équilibre complet avant de conclure. Pour les patins, la statique ne suffit plus (le guidage est hyperstatique) : on ajoute une hypothèse de déformation, qu'on dit.

1) L'équilibre du coulisseau. $F$ tend à faire basculer le coulisseau : à l'avant ( $I_{1}$ ) la colonne appuie vers le haut, à l'arrière ( $I_{2}$ ) vers le bas, avec la même intensité $N$ , les deux appuis formant un couple de bras de levier $L$ . Les frottements, $f N$ à chaque contact, s'opposent au mouvement ; appliqués de part et d'autre de l'axe, à la même distance, leurs moments se compensent. Moment au centre du coulisseau, puis résultante axiale : $N L = F e, F = Q + 2 f N = Q + \frac{2 f e}{L} F, soit F (1 - \frac{2 f e}{L}) = Q .$ Si $1 - \frac{2 f e}{L} \leq 0$ , aucun effort $F$ , si grand soit-il, ne fait avancer le coulisseau, même à vide : c'est l'arc-boutement. Plus on pousse, plus on serre. Il est évité au démarrage si $L > 2 f_{s} e = 2 \times 0, 20 \times 200 = 80 mm .$ Avec $150 mm$ , le coulisseau démarre. La condition ne dépend ni de $F$ ni de $Q$ : c'est une condition de géométrie, $L / e > 2 f_{s}$ .

2) Le rendement. $η = \frac{Q}{F} = 1 - \frac{2 f e}{L}$ . Avec $L = 150 mm$ : $η = 1 - \frac{60}{150} = 0, 60$ . L'exigence $η \geq 0, 75$ impose $\frac{2 f e}{L} \leq 0, 25$ , soit $L \geq 8 f e = 8 \times 0, 15 \times 200 = 240 mm > 150 mm :$ non tenu. Ne pas se coincer ne suffit pas : loin de la limite d'arc-boutement, le guidage dissipe encore $40 %$ de la puissance du vérin.

3) L'hyperstatisme des rails à patins. Quatre glissières en parallèle entre la table et le bâti : $I_{s} = 4 \times 5 = 20$ inconnues statiques, $6$ équations, mobilité $m = 1$ (la translation) : $h = 20 - 6 + 1 = 15.$ Les conditions géométriques sont nombreuses : rails parallèles entre eux (dans le plan et en hauteur), surfaces d'appui des rails coplanaires, surfaces d'appui des patins sur la table coplanaires. On les obtient par des surfaces usinées, un rail de référence contre lequel on aligne l'autre, et l'élasticité des patins, qui absorbe les petits écarts. La statique ne donne pas la charge de chaque patin : il y a quatre inconnues verticales pour trois équations (résultante verticale, deux moments).

4) La répartition, sous une hypothèse. Table rigide : les enfoncements verticaux des patins sont ceux d'un plan, $δ_{i} = u + θ_{x} y_{i} - θ_{y} x_{i}$ , fonction affine de la position. Patins de même raideur $k$ : $P_{i} = k δ_{i}$ est affine aussi, $P_{i} = A + B x_{i} + C y_{i}$ . Les patins sont symétriques ( $\sum x_{i} = \sum y_{i} = \sum x_{i} y_{i} = 0$ ), donc la résultante donne $4 A = W$ , les moments donnent $B \sum x_{i}^{2} = W x_{0}$ et $C \sum y_{i}^{2} = W y_{0}$ : $P_{i} = \frac{W}{4} (1 + \frac{x _{0} x _{i}}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y _{i}}{b ^{2}}), a = 200 mm, b = 150 mm .$ Avec $x_{0} = a$ et $y_{0} = \frac{b}{2}$ : $P_{i} = 1500 (1 + \frac{x _{i}}{a} + \frac{y _{i}}{2 b})$ , soit $P_{1} = 3750 N, P_{2} = 2250 N, P_{3} = 750 N, P_{4} = - 750 N .$ Contrôle : la somme vaut $6000 N$ . Le patin $4$ est tiré vers le haut : un patin à recirculation de billes, qui enveloppe son rail, porte une charge dans les deux sens ; un simple appui se soulèverait, et la répartition affine ne vaudrait plus.

5) La durée de vie. Distance parcourue : $1, 2 m$ toutes les $5 s$ , soit $864 m$ par heure, $13, 8 km$ par jour, $3318 km$ par an et $D = 16600 km en cinq ans .$ Patin le plus chargé, $P_{1} = 3750 N$ : avec $C = 11 kN$ , $L = (\frac{11}{3 , 75})^{3} \times 50 = 1260 km$ , à peine quatre mois : non tenu. Le piège : avec $W /4 = 1500 N$ par patin, on trouverait $19700 km$ et l'on accepterait la petite taille. Avec $C = 27 kN$ : $L = (\frac{27}{3 , 75})^{3} \times 50 = 18660 km$ , tenu (il fallait $C \geq 3, 75 \times (\frac{16 600}{50})^{1/3} = 26, 0 kN$ ).

Exigence	valeur	écart
coulisseau : pas d'arc-boutement ( $L > 80 mm$ )	$150 mm$	tenu
coulisseau : $η \geq 0, 75$	$0, 60$ ( $240 mm$ nécessaires)	non tenu
patins de $11 kN$ : $16600 km$	$1260 km$	non tenu
patins de $27 kN$ : $16600 km$	$18660 km$	tenu

Ce que l'exercice installe. L'arc-boutement est une condition de géométrie tirée des lois de Coulomb : le rapport de la longueur guidée à l'excentration de l'effort moteur doit dépasser $2 f$ , et le rendement exige bien plus ( $L \geq 8 f e$ pour $75 %$ ). Un guidage par rails à patins est fortement hyperstatique ( $h = 15$ ) : des conditions géométriques à réaliser, et une répartition des charges que seule une hypothèse de déformation (table rigide, patins de même raideur) fournit. La durée de vie se calcule sur le patin le plus chargé, jamais sur la charge moyenne.

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