Le moyeu de la poulie motrice : clavette ou frettage ?

La stratégie. Pour chaque solution, on passe d'une pression locale admissible (matage, pression de contact) à l'effort ou au couple global, puis on compare la longueur nécessaire à la longueur disponible. Chaque vérification se fait dans le cas le plus défavorable pour elle.

1) La clavette. Couple de calcul : $C_c=1,5\times 600=900\mathrm{N}\mathrm{m}$. L'effort tangentiel au rayon de l'arbre : $F_t=\frac{2C_c}{d}=\frac{2\times 900}{0,040}=45000\mathrm{N}$. Le matage se produit sur la face de la clavette en contact avec le moyeu, de hauteur $3\mathrm{mm}$ : $$p=\frac{F_t}{3\ell }\le p_{adm}⟹\ell \ge \frac{45000}{3\times 100}=150\mathrm{mm}.$$ Cisaillement : $\ell \ge \frac{45000}{12\times 80}=47\mathrm{mm}$ ; le matage dimensionne. $150\mathrm{mm}$, c'est presque quatre fois le diamètre de l'arbre et deux fois et demie la longueur disponible : non tenu. Deux clavettes, comptées pour $1,5$ : $\ell \ge 100\mathrm{mm}$, non tenu non plus.

2) Le frettage, au serrage minimal. $$p_{\min }=\frac{210000\times 0,030}{2\times 40}\left(1-\frac{40^2}{80^2}\right)=78,75\times 0,75=59,1\mathrm{MPa}.$$ Le couple : un élément de la surface de contact, $\mathrm{d}S=\frac{d}{2}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x$, reçoit la force normale $p\mathrm{d}S$ ; à la limite du glissement, la force tangentielle vaut $fp\mathrm{d}S$, de moment $\frac{d}{2}fp\mathrm{d}S$ par rapport à l'axe. La pression étant uniforme, $$C={\int }_0^{\ell }{\int }_0^{2\pi }\frac{d}{2}fp\frac{d}{2}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}x=fp\frac{d^2}{4}2\pi \ell =\frac{fp\pi d^2\ell }{2}.$$ $$C_{\min }=\frac{0,15\times 59,1\times \pi \times 40^2\times 60}{2}=1,336\times 10^6\mathrm{N}\mathrm{mm}=1336\mathrm{N}\mathrm{m}\ge 900\mathrm{N}\mathrm{m}:$$ tenu, avec un coefficient $\frac{1336}{900}=1,48$, dans les $60\mathrm{mm}$ disponibles.

3) Au serrage maximal. La pression est proportionnelle au serrage : $p_{\max }=59,1\times \frac{50}{30}=98,4\mathrm{MPa}$, et $$\sigma =98,4\times \frac{80^2+40^2}{80^2-40^2}=98,4\times 1,67=164\mathrm{MPa}\le 180\mathrm{MPa}:$$ tenu. Chaque vérification se fait au serrage qui lui est défavorable : le couple au serrage minimal (la pression la plus faible), la contrainte au serrage maximal (la plus forte). Les tolérances de fabrication font partie du dimensionnement.

4) Le montage à chaud. Il faut que l'alésage du moyeu dépasse le diamètre de l'arbre du serrage maximal plus le jeu de montage : $\alpha \Delta Td\ge {\delta }_{\max }+j$, soit $$\Delta T\ge \frac{0,050+0,020}{11\times 10^{-6}\times 40}=159\mathrm{K}:$$ le moyeu est chauffé vers $180{}^{\circ }\mathrm{C}$, en four ou par induction, bien en dessous des températures qui modifieraient l'acier.

5) Le bilan.

Le frettage est retenu. Son inconvénient : il est pratiquement indémontable (il faut un extracteur hydraulique, ou réchauffer le moyeu sans chauffer l'arbre). Si la maintenance exige de changer la poulie, on envisage un arbre cannelé (plusieurs dents portent ensemble, à encombrement voisin) ou un moyeu à frettes coniques serrées par vis, démontables. C'est un critère de choix de plus, à hiérarchiser avec le coût.

Ce que l'exercice installe. Le passage d'un modèle local au modèle global : une pression admissible donne un effort, une pression de contact et un coefficient de frottement donnent un couple, par intégration sur la surface ($C=\frac{1}{2}fp\pi d^2\ell$). L'encombrement est une exigence à part entière, qui élimine ici la clavette. Un ajustement se donne par sa nature (serré) et ses serrages extrêmes, et chaque vérification se fait au serrage qui lui est défavorable.