Le moyeu de vélo à trois vitesses : une seule denture, trois rapports, et presque pas de pertes

La stratégie. La relation de Willis vaut quel que soit l'élément imposé ; les rapports s'en déduisent en lisant l'entrée et la sortie. Pour le rendement, on se place dans le repère du porte-satellites, où la puissance qui traverse les dentures est le couple multiplié par la vitesse relative : c'est elle seule qui subit les pertes.

1) Entraxe, raison, montage. Les axes des satellites sont à égale distance du planétaire et de la couronne : $Z_p+2Z_s=Z_c$, et $16+32=48$. Dans le repère du porte-satellites, le train est ordinaire, avec un contact extérieur ($k=1$) : $$\lambda =\frac{{\omega }_{p/ps}}{{\omega }_{c/ps}}=-\frac{Z_s}{Z_p}\cdot \frac{Z_c}{Z_s}=-\frac{Z_c}{Z_p}=-3.$$ Condition de montage : $\frac{Z_p+Z_c}{n}=\frac{64}{n}$ doit être entier : $n=4$ convient ($16$), $n=3$ non ($21,3$). On monte quatre satellites.

2) Les trois rapports. Avec ${\omega }_p=0$ : $\frac{0-{\omega }_{ps}}{{\omega }_c-{\omega }_{ps}}=-3$, d'où $3{\omega }_c=4{\omega }_{ps}$ et $$\frac{{\omega }_{ps}}{{\omega }_c}=\frac{3}{4}.$$ Petit rapport (entrée $c$, sortie $ps$) : $\frac{3}{4}$, réducteur ; direct : $1$ ; grand rapport (entrée $ps$, sortie $c$) : $\frac{4}{3}$, multiplicateur. La même denture, le même planétaire fixe : seul le choix de l'entrée et de la sortie change. Étagement : $\frac{4/3}{3/4}=\frac{16}{9}=1,78\ge 1,75$, tenu ; écarts : $\frac{4}{3}=1,33$, soit $33\%\le 35\%$, tenu. Le moyeu tourne en direct à $70\times \frac{46}{18}=179\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ ; la roue parcourt $\pi \times 0,70=2,20\mathrm{m}$ par tour :

3) Le rendement, vu du porte-satellites. On note $C_p$, $C_c$, $C_{ps}$ les couples extérieurs reçus par les trois éléments ; en régime permanent, le train isolé donne $C_p+C_c+C_{ps}=0$. Dans le repère du porte-satellites, la puissance passe de l'élément menant à l'élément mené avec le rendement ${\eta }_0$.

Petit rapport (${\omega }_c=\omega$, ${\omega }_{ps}=\frac{3}{4}\omega$, ${\omega }_p=0$). Vitesses relatives : ${\omega }_c-{\omega }_{ps}=\frac{\omega }{4}$ et ${\omega }_p-{\omega }_{ps}=-\frac{3}{4}\omega$. La couronne reçoit le couple moteur $C_c>0$ : elle est menante dans le mouvement relatif, et la puissance relative vaut $C_c\frac{\omega }{4}$, le quart de la puissance d'entrée. Le planétaire est mené : $C_p\left(-\frac{3}{4}\omega \right)=-{\eta }_0{C}_c\frac{\omega }{4}$, d'où $C_p=\frac{{\eta }_0}{3}{C}_c$ et $C_{ps}=-C_c\left(1+\frac{{\eta }_0}{3}\right)$. Rendement : $$\eta =\frac{-C_{ps}{\omega }_{ps}}{C_c{\omega }_c}=\frac{3}{4}\left(1+\frac{{\eta }_0}{3}\right)=\frac{3+{\eta }_0}{4}=0,9926.$$ Grand rapport (${\omega }_{ps}=\omega$, ${\omega }_c=\frac{4}{3}\omega$, ${\omega }_p=0$). Vitesses relatives : $\frac{\omega }{3}$ pour la couronne, $-\omega$ pour le planétaire. La couronne est la sortie ($C_c<0$), menée dans le mouvement relatif ; le planétaire est menant : $-C_c\frac{\omega }{3}={\eta }_0{C}_p(-\omega )$, d'où $C_c=3{\eta }_0{C}_p$, $C_{ps}=-C_p(1+3{\eta }_0)$, et $$\eta =\frac{-C_c{\omega }_c}{C_{ps}{\omega }_{ps}}=\frac{4{\eta }_0}{1+3{\eta }_0}=0,9924.$$ La puissance relative, $-C_c\frac{\omega }{3}$, est encore le quart de la puissance de sortie. En prise directe, aucun mouvement relatif : les dentures ne transmettent rien en glissant, leur rendement vaut $1$ (seuls les roulements et les cliquets perdent un peu). Les trois rapports tiennent les $98\%$.

Pour le réducteur à couronne fixe de rapport $\frac{1}{5}$ (entrée au planétaire), la vitesse relative du planétaire est $\omega -\frac{\omega }{5}=\frac{4}{5}\omega$ : quatre cinquièmes de la puissance traversent les dentures, et $\eta =1-(1-0,97)\times \frac{4}{5}=0,976$. Le résultat à retenir : un train épicycloïdal perd sur la puissance qui traverse ses dentures dans le mouvement relatif, pas sur la puissance transmise ; un petit écart de rapport autour de $1$ fait passer peu de puissance par les dentures.

4) Le couple sur l'axe fixe. Le couple d'entrée au moyeu vaut $50\times \frac{18}{46}=19,6\mathrm{N}\mathrm{m}$. Petit rapport : $C_p=\frac{{\eta }_0}{3}{C}_c=0,323\times 19,6=6,3\mathrm{N}\mathrm{m}$. Grand rapport : $C_p=-\frac{C_{ps}}{1+3{\eta }_0}=-\frac{19,6}{3,91}=-5,0\mathrm{N}\mathrm{m}$. En direct : $0$. Le planétaire, fixe, transmet ce couple à l'axe, et l'axe au cadre : le serrage des écrous de roue ne suffit pas à le garantir sur une patte de cadre, il faut une rondelle anti-rotation (à ergot logé dans la patte) ou des méplats sur l'axe. Le couple change de sens entre petit et grand rapport : l'arrêt doit tenir dans les deux sens.

5) Le bilan.

Ce que l'exercice installe. La relation de Willis donne autant de rapports que de façons de choisir l'élément fixe, l'entrée et la sortie ; un même train, à élément fixe donné, est réducteur ou multiplicateur selon l'élément par lequel on entre. Le rendement d'un train épicycloïdal se calcule dans le repère du porte-satellites : on y identifie l'élément menant, on y écrit la perte sur la seule puissance relative, et l'équilibre des trois couples donne le reste. Et le couple de réaction sur l'élément fixe se dimensionne, comme tout effort.