sciences industrielles (PT) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Problème — Broche à grande vitesse : billes céramique et refroidissement

Conception mécanique et transmissions de puissance · niveau 2

Énoncé

Une broche de centre d'usinage tourne à $N = 24000 tr / min$ et délivre $P = 25 kW$ . Ses roulements à billes à contact oblique, montés en O avec une précharge élastique, ont un diamètre moyen $d_{m} = 80 mm$ , un angle de contact $2 5^{\circ}$ et des billes de $D_{w} = 10 mm$ .

Calculer le couple nominal.
La cage (et le centre des billes) tourne à $ω_{c} = \frac{ω}{2} (1 - \frac{D _{w} cos α}{d _{m}})$ (bague extérieure fixe, donné). Calculer la force centrifuge d'une bille en acier ( $7800 kg / m^{3}$ ) puis en nitrure de silicium ( $3200 kg / m^{3}$ ). Pourquoi des billes en céramique ?
Le rendement de la broche est de $96 %$ ; dimensionner le débit d'eau glycolée qui évacue les pertes avec un échauffement de $3 K$ ( $c = 3800 J / kg / K$ , masse volumique prise égale à $1000 kg / m^{3}$ ).

Corrigé

1. $ω = \frac{2 π \times 24 000}{60} = 2513.3 rad / s$ ; $C = \frac{P}{ω} = \frac{25 000}{2 513 , 3} = 9.95 Nm$ .

2. $\frac{ω _{c}}{ω} = \frac{1}{2} (1 - \frac{10 cos 2 5 ^{\circ}}{80}) = 0, 443$ , soit $ω_{c} = 1114 rad / s$ . Masse d'une bille d'acier : $7800 \times \frac{π}{6} \times 0, 0 1^{3} = 4.08 g$ ; force centrifuge $m ω_{c}^{2} \frac{d _{m}}{2} = 4, 08 \times 1 0^{- 3} \times 111 4^{2} \times 0, 040 = 203 N$ . En nitrure de silicium : $83 N$ , $59 %$ de moins. Cette force plaque les billes sur la bague extérieure et y modifie les angles de contact ; elle s'ajoute à la précharge et échauffe le roulement. Les billes légères la réduisent. Le produit $d_{m} N = 80 \times 24000 = 1, 92 \times 1 0^{6} mm tr / min$ classe ces roulements parmi les très grandes vitesses.

3. Pertes : $P (1 - η) = 25000 \times 0, 04 = 1000 W$ ; débit $q_{m} = \frac{1 000}{3 800 \times 3} = 0.0877 kg / s$ , soit environ $5.3 L / min$ .

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